Si un $n$-variedad existe, entonces es el límite de un $(n+1)$-colector existente?

Question

Estoy leyendo algunas contexto básico de los libros acerca de la topología (es decir , La Conjetura de Poincaré, por Donal O'Shea entre otros) y a raíz de este abierto de la Topología y la Geometría de video conferencias de la brillante profesor de Tadashi Tokieda en el Instituto Africano de Ciencias Matemáticas (para los principiantes en la materia, si tienes tiempo me gustaría sugerir a echar un vistazo a ellos!).

Me gustaría hacer la siguiente pregunta:

Es cada $n$-colector de los límites de una $(n+1)$-colector? Es cada compacto $n$-colector de la frontera de un compacto $(n+1)$-colector?

Gracias!

p.s. Esta pregunta se modificó de acuerdo a las sugerencias en los comentarios y Meta (aquí), espero que ahora será más precisa. Gracias a todos por las sugerencias!

Answer 1

No estoy totalmente seguro de lo que su pregunta es, pero aquí está mi interpretación de la misma: es cada $n$-colector $X$ (sin límite) el límite de algunos $(n+1)$-colector con límite de $Y$? La respuesta es sí: sólo tome $Y=X\times [0,\infty)$, la identificación de $X$$\partial Y=X\times\{0\}$.

(Mike Miller le dio una respuesta a la contraria en los comentarios; sin embargo, su respuesta se aplica sólo si la demanda de que los colectores de ser compacto. Es decir, es no es cierto en general que cada compacto $n$-colector es el límite de algunos compacto $(n+1)$-manifold con frontera. En particular, mi respuesta no funciona en ese caso, ya $X\times [0,\infty)$ nunca es compacto si $X$ es no vacío.)