Por ello, es de rápida disminución función $g$ que: $\sup_{x\in\mathbb{R}}|x|^{l\geq 0}|g^{(k\geq 0)}(x-y)|\leq A_{l,k}(1+|y|)^{l}$

Question

Si $g$ es de disminución rápida, que es $\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}}|x|^{l\geq 0}|g^{(k\geq 0)}(x)|<\infty$, entonces tenemos: %#% $de #% donde$$\displaystyle\sup_{x\in\mathbb{R}}|x|^{l\geq 0}|g^{(k\geq 0)}(x-y)|\leq A_{l,k}(1+|y|)^{l}$ es una constante dependiente de $A_{l,k}\geq 0$.

¿Cómo puedo inducir la desigualdad anterior?

Answer 1

Consejo. Se puede observar que $$\begin{align} (1+|x|^2)^{l}|g^{(k)}(x-y)|&=(1+|x-y|^2)^{l}|g^{(k)}(x-y)|\frac{(1+|x|^2)^{l}}{(1+|x-y|^2)^{l}}\\ &\leq a_{l,k}\:(1+|y|^2)^{l} \end {alinee el}$$ donde hemos utilizado la desigualdad de Peetre, cuya prueba se puede encontrar aquí.