Propiedad de un sistema específico con medida de Lebesgue cero

Question

Primer orden bien $\mathbb{Q}=\{r_m\}_{m=0}^\infty$. Deje $B_{m,n}$ ser la bola abierta centrada en $r_m$ radio $2^{-(m+n)}$. Deje $B=\bigcap_{n=0}^\infty\bigcup_{m=0}^\infty B_{m,n}$. Claramente $B$ tiene medida de Lebesgue cero. Pero, ¿cómo demostrar que no es una unión de countably muchos Jordania contenido de cero?

Un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ tiene medida de Lebesgue cero iff $\forall\epsilon>0\exists$una contables de la familia de intervalos abiertos $\{I_n\}_{n\in\omega}(A\subseteq\bigcup_{n\in\omega}I_n\wedge\sum_{n=0}^\infty|I_n|<\epsilon)$.

Un conjunto $A\subseteq\mathbb{R}$ ha Jordania contenido cero iff $\forall\epsilon>0\exists$de un número finito de familia de intervalos abiertos $\{I_n\}_{n=0}^N(A\subseteq\bigcup_{n=0}^NI_n\wedge\sum_{n=0}^N|I_n|<\epsilon)$.

Me encontré con un tema similar en esta pregunta: enlace

Answer 1

He cambiado esto en una topología de pregunta y requiere un poco de conocimiento de los espacios de Baire.

Decir que un conjunto de Jordania contenido de cero implica que hay un conjunto cerrado con vacío interior que contiene ese conjunto (puede crear un nido de conjuntos cerrados que contienen su conjunto y la disminución de la medida de Lebesgue, entonces tome la intersección de todos estos conjuntos cerrados; si este conjunto tenía interior, tendría un valor distinto de cero medida de Lebesgue). Así, un contable de la unión de Jordania contenido cero conjuntos está contenida en un magro subconjunto de $\mathbb{R}$.

Cada subconjunto de un escaso conjunto es escasa, por lo que una contables de la unión de Jordania contenido cero conjuntos sería.

Ahora usted necesita ver que su conjunto $B$ es no pobre. Esto es debido a una densa, $G_\delta$ subconjunto de $\mathbb{R}$ (como el tuyo) es comeager (su complemento es un magro subconjunto de los reales). Y ya que los reales son un espacio de Baire, no podemos tener ese $B$ es escasa, además, porque de lo contrario los reales sería escaso en sí mismos.