Fuerza de multiplicador y restricción de Lagrange

Question

El Lagrangiano con el multiplicador de Lagrange en forma

$$L= T- V + \lambda f(q, \dot{q},t).$$

Pero hay diferentes maneras de escribir la restricción $f = 0$.

¿Conducirá a Moe diferentes?

Les daré un ejemplo:

Un péndulo con masa $m$% y longitud $l$.

Podemos utilizar let

$$I=\int_{t_0}^{t_1}\left[\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-mgy-\lambda\left(\sqrt{x^2+y^2}-l\right)\right]dt$$

o

$$I=\int_{t_0}^{t_1}\left[\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-mgy-\lambda\left((x^2+y^2-l^2)^2\right)\right]dt$$

En el primer caso, tenemos

$$m\ddot{x}=-\lambda\frac{x}{l}, m\ddot{y}=-mg-\lambda\frac{y}{l}$$

que son la correcta Moe.

Pero para el segundo caso, tenemos

$$m\ddot{x}=0, m\ddot{y}=-mg$$

Answer 1

Deje que se dé un (configuración) del colector de $M$. A menudo en la física se asume que una restricción de la función de $\chi$ obedece a las siguientes condiciones de regularidad:

1. $\chi: \Omega\subseteq M \to \mathbb{R}$ está definida en un abierto vecindario $\Omega$ de la limitación de submanifold $C\subset M$;

2. $\chi$ es suficientemente$^1$ muchas veces) diferenciable en a $\Omega$;

3. El gradiente $\vec{\nabla} \chi$ es no-fuga en el restringido submanifold $C\subset M$.

Aquí se comprende implícitamente que $\chi$ se desvanece en la limitación de submanifold $C\subset M$, es decir,

$$C\cap \Omega ~=~\chi^{-1}(\{0\})~:=~\{x\in\Omega \mid \chi(x)=0\}.$$

[También nos imaginamos que el pleno limitada submanifold $C\subset M$ está cubierto por una familia de la $(\Omega_{\alpha})_{\alpha\in I}$ de abrir barrios, cada uno con su correspondiente restringido de la función $\chi_{\alpha}: \Omega_{\alpha}\subseteq M \to \mathbb{R}$, y de tal manera que la restricción de las funciones de $\chi_{\alpha}$ $\chi_{\beta}$ son compatibles en el barrio se superpone $\Omega_{\alpha}\cap \Omega_{\beta}$.] Desde que existe (localmente) es sólo una limitación, la limitación de submanifold será una hipersuperficie, es decir, de codimension 1. [Más en general, no podía ser más que una restricción: a Continuación, por encima de la regularidad de las condiciones debe ser modificado en consecuencia. Ver, por ejemplo, Ref. 1 para más detalles.]

Las anteriores condiciones de regularidad, en sentido estricto, no siempre es necesario, pero simplificar en gran medida la teoría general de sistemas limitados. E. g. en los casos donde a uno le gustaría utilizar el teorema de la función inversa, el teorema de la función implícita, o reajuste de parámetros $\chi\to\chi^{\prime}$ las restricciones. [El rango de la condición (3.) puede estar ligada a la no desaparición de la Jacobiana $J$ en el teorema de la función inversa.]

Mecánica cuántica, reparametrizations de restricciones puede inducir una Faddeev-Popov-como determinantal factor en la ruta integral.

Ejemplo 1a: OP 1er ejemplo (v1) $$\tag{1a} \chi(x,y)~=~x^2+y^2-\ell^2$$ de fallar la condición 3 si $\ell=0$. Si $\ell=0$, $C=\{(0,0)\}\subset M=\mathbb{R}^2$ es sólo el origen, lo que ha codimension 2. Por otro lado, el $\chi$-restricción satisface la regularidad de las condiciones de 1-3 si $\ell>0$.

Ejemplo 1b: OP 1er ejemplo (v3) $$\tag{1b} \chi(x,y)~=~\sqrt{x^2+y^2}-\ell$$ no es diferenciable en el origen $(x,y)=(0,0)$, y, por tanto, podría fallar la condición 2 si $\ell=0$. Por otro lado, el $\chi$-restricción satisface la regularidad de las condiciones de 1-3 si $\ell>0$.

Ejemplo 2a: Suponga $\ell>0$. OP 2º ejemplo (v1) $$\tag{2a} \chi(x,y)~=~\sqrt{x^2+y^2-\ell^2}$$ de fallar la condición 1 y 2. La raíz cuadrada no está bien definida en un lado de la limitación de submanifold $C$.

Ejemplo 2b: Suponga $\ell>0$. OP 2º ejemplo (v3) $$\tag{2b} \chi(x,y)~=~(x^2+y^2-\ell^2)^2$$ de fallar la condición 3, ya que la pendiente $\vec{\nabla} \chi$ se desvanece en la limitación de submanifold $C$.

Referencias:

1. M. Henneaux y C. Teitelboim, la Cuantización de Sistemas de trocha, 1994; Subapartado 1.1.2.

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$^1$ Exactamente cuántas veces diferenciable depende de la aplicación.

Answer 2

En general está bien hacer esto tan largo como la restricción es holonomic. Cualquier suficientemente derivable la función que se desvanece en el submanifold de interés, se define en un abrir barrio de la última, y cuya pendiente no desaparecen de allí, va a funcionar así.

La razón para esto es que cualquier otra función de $ h $ puede ser escrito en términos de la función original $ f $ $$h=fg, $$ where $ g$ does not vanish on the constrained submanifold. This can change the magnitude of the gradient of $ h $ pero no su dirección: $$\nabla h =g \nabla f + f\nabla g=g\nabla f. $$ De forma más intuitiva, los gradientes de $ f $ $ h $ debe ser ortogonal a que comparten el contorno, la limitación de submanifold, y por lo tanto debe ser linealmente dependiente.

En general, las correspondientes ecuaciones del movimiento serán diferentes, pero tienen las mismas soluciones. El multiplicador de Lagrange, incluyendo su dependencia del tiempo, obviamente debe cambiar.

Nota, por otro lado, que esto funciona como se indica sólo para holonomic limitaciones; se debe trabajar para anholonomic, pero no acabo de ver la prueba. Por último, el segundo ejemplo, incluyendo una raíz cuadrada, no está definida en una vecindad de el círculo y por lo tanto no es válido.