¿Cómo convencer a alguien que líneas paralelas pueden tocar/cumplir?

Question

Al hablar con alguien que sepa matemáticas básicas pero no muy profundo, ¿cómo explicarías que líneas paralelas pueden tocar?

Me refiero a no-euclidiana / proyectiva geometría.

Edit: ¿Por qué paralelo líneas en el plano euclidiano (se corresponden con líneas que) se cruzan en el plano proyectivo?

Answer 1

Las líneas son paralelas si se encuentran en el mismo plano y no se intersecan. En otras geometrías, puede ser que no exista líneas paralelas, líneas pueden no tener un punto en común, pero que pueden tener en común un punto límite en el infinito, o simplemente puede que no se cruzan.

Usted podría estar pensando acerca de la Geometría Proyectiva, donde un "punto en el infinito" se agrega a cada familia de rectas paralelas y el conjunto de todos los puntos en el infinito se llama la "línea en el infinito".

Anexo

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Normalmente, en la geometría formal, puntos, rectas y planos no están definidos. Pero postulados que definen su "línea de base" de la conducta. El postulado de que cada geometría parece estar de acuerdo es en la que los estados

L1: Dados dos puntos distintos en un plano, no es exactamente una línea en ese plano que los contiene.

El "doble" de ese postulado es

DL1: Dadas dos líneas distintas en un avión, no es exactamente un punto en que el avión que pertenece a ambas líneas.

Ya que la geometría Euclidiana contiene líneas paralelas, DL2 es falso. Pero geometría Proyectiva se acepta DL2 como un postulado. La gran pregunta es, "¿existe una geometría que satisface los postulados de la geometría Proyectiva?" Sí no.

La creación de este tipo de geometría es realmente muy inteligente. Usted comienza con un plano Euclidiano y de agregar los puntos de la siguiente manera. Elija cualquier línea en el plano. Para que la línea y todas las líneas en paralelo a ello, se agrega un punto extra, un punto en el infinito. Este es un conjunto de cosas. Estamos tratando a un Euclidiana línea, $l$, como un conjunto de puntos y estamos agregando un no Euclidiana punto de $p$ a que establezca, $l' = l \cup \{p\}$.

La adición de este punto con esas líneas significa que esas líneas no son paralelas. Definir el conjunto de todos los puntos en el infinito a ser la línea en el infinito. El plano Proyectivo es el plano Euclídeo con todos los puntos en el infinito y la línea en el infinito añadido. Este particular Proyectiva del plano puede ser probado a satisfacer DL2.

En la otra dirección, elija cualquier línea, $l$, en el plano proyectivo, $\mathbb P^2$, y retírela. Lo que termina con el plano Euclidiano, $\mathbb E^2 \cong \mathbb P^2 - \{l\}$. Algunas de las líneas que se intersecan. Aquellos que se cruzan en un punto en la línea que se ha quitado ahora será paralelo.

Answer 2

Yo diría que si estamos al lado del otro y ambos a pie debido al norte, eventualmente chocar entre sí cerca del polo norte

Nota, como varios han comentado, su premisa es ligeramente apagado. Qué puede convencer a su amigo de es que cualquier dos 'rectas', es decir geodésicas cruzan sobre una esfera (no paralelas), mientras que en el plano, para cualquier línea hay que una familia especial de no líneas que nunca tocan.

Answer 3

Como he dicho en los comentarios, no se puede convencer a alguien de algo que no es cierto.

IMO si alguien sabe de geometría básica, a continuación, él debe ser consciente del hecho de que :

Las líneas paralelas no se juntan en un punto.

Esta sección de la Wikipedia que vale mucho aquí:

En geometría, los paralelos son rectas en un plano que no cumplen; es decir, dos líneas en un plano que no se cruzan o se tocan en algún punto se dice que son paralelas. Por extensión, una recta y un plano, o en dos planos, en un espacio tridimensional Euclidiano que no comparten un punto se dice que son paralelas.

Aunque si son convincentes/discutir con alguien ingenuo en el campo de la geometría, que son Paralelas a la línea de no encontrarse, le pregunta por qué le llaman por su nombre y no por Justin Bieber/Selena Gomez? La respuesta sería que Porque es mi nombre y eso es todo. Tienes él/ella. En realidad las líneas paralelas no se juntan en un punto o se cruzan porque son definidos de esa manera, si dos líneas se cruzan, a continuación, que no se quedarán de líneas paralelas.

Answer 4

Cuando tenía 16 o así, estaba aburrido tratando de resolver mi tarea de matemáticas, así que jugué con una lupa, y me di cuenta de algo interesante:

Si usted mira la cuadrícula de papel con una lupa las líneas permanecen paralelas (esto es evidente cuando se encuentran más o menos en la parte de arriba de la de cristal"), pero todas las líneas de cumplir en el borde de la copa.

(Me fui a mi hermano mayor, que era un estudiante de primer año de ingeniería en el tiempo, y yo le dije que las líneas paralelas se puede cumplir; pero él respondió que no, porque es un axioma. Algunos años más tarde me enteré de que hay una cosa que se llama geometría no-Euclidiana.)

 

Nota, por cierto, esto podría requerir que usted piensa sobre el vidrio como infinito.

Answer 5

En su comentario de @JackyChong ha identificado la preliminar del problema. La definición de "paralelo" es clara: las líneas que no cumplen, por lo que no hay líneas paralelas que cumplir. La verdadera cuestión es la definición de "línea".

Geodésica es el más natural para la geometría de la esfera. A continuación, en esta geometría no existen líneas paralelas.

Para la geometría proyectiva una definición es agregar un "punto en el infinito" en cada línea y, a continuación, hacer que el agregado de puntos en una línea "en el infinito". Con estos puntos y líneas que no existen líneas paralelas. Dos que son paralelas en el plano Euclidiano compartir su punto en el infinito. La vía férrea analogía ayuda aquí.

En geometría hiperbólica hay varias líneas paralelas a una recta dada por un punto no está en esa línea. Si usted consigue que ahora, con la "alguien que no sabe de matemáticas" usted puede demostrar que él o ella el modelo de Poincaré.