¿Son la diferenciación y la integración de funciones continuas?

Question

Es la diferenciación de una función continua de $C^1[a,b] \to C[a,b]$?

Creo que es pero no puedo probarlo... ¿Sería posible demostrar que el uso de la teoría acerca de conjuntos cerrados en $C[a,b]$ y su preimagen? Mi problema aquí sería comprobar todos los conjuntos cerrados y la cercanía de su preimagen así que me siento que estoy en el camino equivocado!

También : es la integración de una función continua de $C[a,b] \to C[a,b]$? De alguna manera siento que no... Entonces sería suficiente para demostrar que algunos subconjunto cerrado de $C[a,b]$ tiene un no-cerrada preimagen? ¿No es así? Pero, ¿cuál?

No estoy seguro de que esto no es muy engañoso... me Pueden ayudar? Muchas gracias!

PS: estoy pensando en el sup métrica en $C[a,b]$!

Answer 1

Voy a asumir que usted considere las topologías inducidas por la $\mathcal{C}^1$norma: $$\|f\|_{\mathcal{C}^1([a,b])}=\sup_{[a,b]}|f| + \sup_{[a,b]}|f'|$$ y por el sup norma. Si se considera la topología de la convergencia uniforme en ambos espacios, la respuesta es no, como se ha señalado en otras respuestas.

El operador $f\mapsto D(f)=f'$ es lineal de $\mathcal{C}^1([a,b])$ $\mathcal{C}^0([a,b])$y $$\|D(f)\|_{\mathcal{C}^0([a,b])}=\sup_{[a,b]}|D(f)|=\sup_{[a,b]}|f'|\leq \sup_{[a,b]}|f|+\sup_{[a,b]}|f'|=\|f\|_{\mathcal{C}^1([a,b])}$$ es decir, $\|D\|\leq 1$ (operador de la norma). Así es continua: un operador lineal continuo es el fib es limitado.

Como para el operador $$f(x)\mapsto I_a(f)(x)=\int_{a}^x f(t)dt$$ usted acaba de hacer lo mismo. Si su espacio es de nuevo $\mathcal{C}^0([a,b])$, luego $$\|I_a(f)\|_{\mathcal{C}^0([a,b])}=\sup_{[a,b]}|I_a(f)|\leq (b-a)\sup_{[a,b]}|f|=(b-a)\|f\|_{\mathcal{C}^0([a,b])}$$ por lo $\|I_a\|\leq b-a$ (operador). Así que de nuevo es continuo; esto también puede ser demostrado por la mano: si $f_n\to f$ uniformemente en $[a,b]$, $$\sup_{[a,b]}|I_a(f_n)-I_a(f)|\leq (b-a)\sup_{[a,b]}|f_n-f|\to 0\;.$$

También puede mostrar que $I_a$ es continuo desde la $\mathcal{C}^0([a,b])$$\mathcal{C}^1([a,b])$, $\|I_a\|\leq (b-a)+1$ (operador de la norma de nuevo, justo entre estos dos otros espacios).

Answer 2

No no es así. Considerar la secuencia $(f_n)\in C^1[0,\pi]$, dado por % $ $$f_n(x)=\frac{\sin nx}{n}$, $\lim_{n\to\infty}f_n=0$, pero no converge a cero, $Df_n=\cos nx$ $n\to\infty$.

Answer 3

Estas preguntas son mucho más fáciles de enfoque utilizando el secuencial definición de continuidad: para espacios métricos $X$$Y$, un mapa de $L : X \to Y$ es continua si y sólo si $L(x_n) \to L(x)$ por cada convergente secuencia $x_n \to x$$X$.

Las respuestas a sus preguntas, por supuesto, dependen de lo que la topología/métrica se utiliza - el contraejemplo publicado por Mateus y MO92 funciona si usted está usando el uniforme de la norma en ambos espacios, pero si usted está utilizando el $C^1$ norma $C^1[a,b]$, a continuación, la diferenciación es continua, prácticamente por definición: la $C^1$ norma es

$$ \Vert f \Vert_{C^1} = \Vert f \Vert_{C^0} + \Vert f' \Vert_{C^0} $$

y por lo tanto siempre $\Vert f_n - f \Vert_{C^1} \to 0$ tenemos $\Vert f_n' - f' \Vert_{C^0} \to 0$.

Con respecto a la integral indefinida, la respuesta también debe ser que sí: si dos funciones diferentes a la mayoría de los $\epsilon$, a continuación, sus integrales debe ser distinto a la mayoría de los $\epsilon(b-a)$.