Paradoja de Zeno de la flecha

Question

Las premisas Y la Conclusión de la Paradoja: (1) Cuando la flecha está en un lugar sólo de su propio tamaño, es en reposo. (2) En cada momento de su vuelo, la flecha está en un lugar sólo de su propio tamaño. (3) por lo Tanto, en cada momento de su vuelo, la flecha está en reposo.

Si algo está en reposo, ciertamente ha $0$ o no la velocidad. Así, en términos modernos, lo que la paradoja dice es que la velocidad de la flecha en "movimiento" en un instante cualquiera, $t$ (de una duración de menos de duración) de tiempo '$0$'.

He leído una solución a esta paradoja lógica. No recuerdo de quien la propuso, pero la solución fue algo como esto:

Deje que el promedio de velocidad de la flecha de ser la relación de $$\frac{\Delta s}{\Delta t}.$$ Donde $\Delta s$ es un 'finito' intervalo de distancia, viajó más de una duración finita $\Delta t$ del tiempo. Porque un instante es la duración de menos, y no la distancia recorrida durante el instante en que, por lo tanto $$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{0}{0}$$ or, $$0 \cdot \Delta s=0 \cdot \Delta t.$$ En otras palabras, la velocidad en un instante es indeterminada, debido a que la ecuación anterior no tiene solución única.

Esta solución niega el concepto de un 'definitiva' velocidad instantánea en un momento $t$ dado por el límite de la relación de $\frac{\Delta s}{\Delta t}$ o $$v(t)= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}.$$

Cualquiera que sea la velocidad en algún instante $t$, ¿cómo los de arriba "definición de la velocidad instantánea" o el cálculo nos dicen que la flecha o cualquier otro objeto en movimiento se mueve en un instante? ¿Cómo puede algo que se mueven en una duración de menos instante, cuando no tiene tiempo para desplazarse? ¿Cuál es el estándar de la ciencia moderna solución para entender esta paradoja lógica?

Answer 1

Como todas las paradojas, no hay contradicción aquí, sólo el mal uso de la lógica.

¿Cómo se puede definir la velocidad? Si usted dice

la distancia recorrida en un prolongado período de tiempo, dividido por el tiempo

bueno, entonces por supuesto que no hay tal cosa como la velocidad instantánea. Pidiendo lo que algo de la velocidad instantánea es en virtud de esta definición es lógicamente equivalente a algo así como

Deje $n$ el número de manzanas en un vacío contenedor de manzanas. ¿Qué es $n$ cuando el contenedor no tiene manzanas?

La pregunta no tiene sentido, y simplemente no puede ser contestada.

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Ahora a menudo se pueden ampliar las definiciones de modo que los términos definidos en las nuevas circunstancias, consistentes con la de los casos para los que fueron definidos previamente. Podemos definir la velocidad como $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}.$$ Esto es consistente con la edad en el sentido de que si usted tiene una constante de velocidad de la $v$ y viajes durante un período prolongado de tiempo, $v$ está dado por la distancia dividida por el tiempo.

Pero no nos engañemos, nuestra nueva definición va más allá de los casos de prolongación de los intervalos de tiempo, y en estos casos la definición antigua todavía falla, como siempre lo hizo. Asegúrese de que no hay movimiento se produce si el tiempo no transcurre. Entonces, ¿qué? Si el tiempo no transcurre, la definición de la velocidad no tiene nada que ver con la distancia recorrida durante ese tiempo.

Algunos objetos pueden tener un valor distinto de cero de la velocidad debido a que nuestra definición de velocidad dice que hace, mientras que la antigua definición de mayo han tenido nada que decir de una manera o de la otra. No se equivoquen, la antigua definición, ¿ no dicen que la velocidad de un objeto es $0$ si el tiempo no transcurre. Se dice que la velocidad de un objeto es actualmente indefinido si el tiempo no transcurre.

Answer 2

¿Cómo puede algo que se mueven en una duración de menos instante, cuando no tiene tiempo mover?

Según elementales de cálculo, si la posición de la flecha está dada por la función de $x(t)$, luego

$$x(t + dt) = x(t) + v(t)dt$$

Este define la velocidad instantánea: es la relación de los infinitesimales$^\dagger$ de cambio en la posición de las infinitesimal cambio en el tiempo

$$v(t) = \frac{dx}{dt}$$

Contraste esto con la

$$x(t + 0) = x(t)$$

y tenga en cuenta que una infinitesimal de desplazamiento en el espacio o el tiempo no es idéntico a un cero de desplazamiento o "duración-menos instantánea".

$\dagger$ Un infinitesimal es una cierta cantidad que es explícitamente un valor distinto de cero y, sin embargo, menor en valor absoluto que cualquier cantidad real