Tengo un bloque intuitivo con esto. Para un problema binomial, la desviación estándar de una cuenta es $\sqrt{np(1-p)}$. Por el contrario, la desviación estándar de la proporción de la muestra disminuye con el aumento de $n$ y es $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Puedo hacer la división por $n$ pero no tengo una idea por qué las desviaciones estándar se mueven en direcciones opuestas.
Respuestas
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A muy grandes rasgos, imaginar que estamos lanzando una feria de la moneda. El éxito se define como jefes. Si tiramos la moneda una vez $(n=1)$, recuento de cualquiera de las $1$ éxito o $0$ éxitos. Ambos tienen igual probabilidad positiva de que suceda $(1/2)$. Ahora imaginemos que lanzamos la moneda $10$ veces ($n=10$). Ahora usted puede conseguir todavía consigue $0$ $1$ éxitos (aunque son menos probable), pero también se puede obtener $2$ a través de $10$ (que es más probable). Si la varianza mide la distancia de un conjunto de números se extiende, se puede ver con $10$ arroja la propagación es más amplio que con $1$ tirar o juicio. Esto explica por qué la varianza del número de aciertos aumenta con la $n$.
Con la proporción (número de éxitos dividido por el número de lanzamientos), usted está tratando de aproximarse al verdadero valor de la $p$. Como obtener más información con más ensayos, su incertidumbre acerca de $p$ va hacia abajo, por lo que la varianza se reduce. Con una sacudida que sale cara, usted no sabe mucho (sólo que $p \ne 0)$. Con $10$ tiros de la que todos resultan ser los jefes, usted está bastante seguro de que $p$ es cerca de la una.
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Vamos a empezar asumiendo que la distribución binomial desviación estándar es correcta (es). Esta es la desviación estándar de la distribución del número de éxitos de $n$ ensayos constante dada la probabilidad de éxito $p$. Llame al número de éxitos, $X$.
Por lo $Var(X) = np(1-p)$, que es lo que tienes (desviación estándar al cuadrado).
Ya que una parte es el número de aciertos sobre el número de ensayos, tenemos:
$Var(\frac{X}{n}) = \frac{Var(X)}{n^2} = \frac{np(1-p)}{n} = \frac{p(1-p)}{n}$.
Y por lo tanto la desviación estándar es de curso $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.
En un caso, usted está buscando en cuenta, en el que usted está buscando en cuenta dividido por el tamaño de la muestra.
Intuitivamente, se puede imaginar la cuenta de que el número de éxitos son mucho mayores ($X = 0, 1, 2, \ldots, n$) de la proporción ($0 \leq p \leq 1$). Como $n$ aumenta, $X$ puede tomar diferentes (y más grande) valores enteros y tiene más variabilidad; $p$, por otro lado, está restringido entre 0 y 1. Por lo $X$ tiene más variabilidad.
