Anillo con un subring isomorfo a $\mathbb{Z}$ y un subring isomorfo a $\mathbb{Z}_{3}$

Question

Esta es una pregunta de tarea que, o bien no estoy pensando hasta el final, o bien estoy complicando demasiado la cuestión. Dice así

Dé un ejemplo de un anillo que contenga un subringa isomorfa a $\mathbb{Z}$ y un subring isomorfo a $\mathbb{Z}_3$ .

Mi respuesta rápida es que $\mathbb{Z}_3 \oplus \mathbb{Z}$ es un anillo de este tipo. Podemos tomar $R = \{(a,0) | a \in \mathbb{Z}_3\}$ sea un subring isomorfo a $\mathbb{Z}_3$ y $S = \{(0,a) | a \in \mathbb{Z}\}$ sea un subring isomorfo a $\mathbb{Z}$ .

¿Hay algo crucial que se me escapa, o el problema es realmente tan simple?

Answer 1

No hay nada crucial que se te escape, aunque debes tener en cuenta que la convención de que un subring no necesita compartir su identidad con el overring no es estándar. Con esa convención, el problema es imposible, ya que $\mathbb{Z}$ es un subring de un anillo si tiene la característica $0$ y $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ es un subringa si un anillo si tiene característica $3$ .