probar esta desigualdad $a^n>b^n+c^n$

Question

Sabemos que a, b y c son positivos y $a^2=b^2+c^2$ cómo podemos concluir esta desigualdad: $a^n>b^n+c^n$, $n>2$

Gracias

Answer 1

$$a^n=(a^2)^{\frac{n}{2}}=(b^2+c^2)^{\frac{n}{2}}>b^n+c^n$$

la desigualdad es equivalente a $(b^2+c^2)^n>(b^n+c^n)^2$ - esto no es difícil de probar por la fórmula binomial del neutonio

Answer 2

Si $n=2m$ es, entonces esto es sencillo: $$ a^n=(a^2)^m=(b^2+c^2)^m> b^{2m}+c^{2m}=b^n+c^n$ $

Si $n>2$ es impar, ya que incluso es $n-1$ a continuación, que $$ a^{n}=a\cdot a^{n-1}\geq a(b^{n-1}+c^{n-1})$ $ utilizando ya sea igualdad si $n-1=2$, o lo que hemos mostrado anteriormente si $n-1>2$.

Por último, $a^2=b^2+c^2$ $a,b,c>0$ implica que el $a>b$ y $a>c$, por lo tanto, $$ a(b^{n-1}+c^{n-1})>b\cdot b^{n-1}+c\cdot c^{n-1}=b^n+c^n$ $

Answer 3

$a^2=b^2+c^2\iff 1=(\frac ba)^2+(\frac ca)^2$ y claramente $\frac ba <1$ y $\frac ca <1$. Por lo tanto, $$1=(\frac ba)^2+(\frac ca)^2>(\frac ba)^3+(\frac ca)^3>(\frac ba)^4+(\frac ca)^4>......>(\frac ba)^n+(\frac ca)^n$ $

Así $$1>(\frac ba)^n+(\frac ca)^n\iff a^n>b^b+c^n$ $