¿Cómo ' conmutativa ' puede ser un anillo no conmutativo?

Question

Deje $R$ ser finito, no-conmutativa anillo. Deje $P(R)$ la probabilidad de que dos elementos escogidos uniformemente al azar conmuta con cada uno de los otros. Considerar el valor

$$S=\sup_RP(R)$$

donde el supremum se toma sobre todos finito, no-conmutativa anillos, junto con la unidad. Se sabe algo de $S$? Qué sabemos de su valor, o no sabemos fronteras? ¿Existe un anillo que logra el supremum? Lo que si tenemos en cuenta anillos sin la unidad?

Esta pregunta está motivada por la idea de conmutatividad grado de grupos finitos. En ese caso, se sabe que $$\sup_GP(G)=\frac{5}{8}$$

y de hecho, existen grupos $G$ tal que $P(G)=5/8$. Aquí, el supremum es finito, nonabelian grupos.

Answer 1

Esta cuestión ha sido estudiada:

• Desmond MacHale, de la Comunidad en lo Finito de los Anillos, La American Mathematical Monthly, Vol. 83, Nº 1 (Ene., 1976), pp 30-32, en línea

Teorema 1 indica que si $R$ es un no-conmutativa anillo, a continuación,$P(R) \leq 5/8$, con igualdad si y sólo si $(R:Z(R))=4$. La prueba es muy similar (pero no igual) para el caso de grupos. Además, el límite es alcanzado por el anillo de la parte superior triangular $2 \times 2$-matrices de más de $\mathbb{F}_2$. Por lo tanto $S=5/8$ como en el caso de grupos. No importa si consideramos los anillos o no unital anillos.

Teorema de los 4 estados que $P(R) \leq P(R')$ si $R'$ es un sub-anillo de $R$. Intuitivamente, esto nos dice que un sub-anillo de un anillo finito es al menos tan conmutativa como el anillo itsself.

Más acerca de la distribución de probabilidades de $P(-)$ puede ser encontrado en la siguiente preprints (y estos parecen ser los únicos):

• S. M. Buckley, D. MacHale, A. Ní Shé, Finito anillos con muchos desplazamientos de los pares de elementos, en línea
• S. M. Buckley, D. MacHale, el Contraste de los desplazamientos probabilidad de grupos y anillos, en línea