Prueba de inducción: Identidad de números de Fibonacci con la suma de dos cuadrados

Question

Mediante la inducción, ¿cómo puedo Mostrar la identidad siguiente acerca de los números de fibonacci? Estoy teniendo problemas con la simplificación cuando se hace el paso de inducción.

Identidad: $$f_n^2 + f_{n+1}^2 = f_{2n+1}$ $

Llego a:

$$f_{n+1}^2 + f_{n+2}^2$$

¿Debo reemplazar $f_{n+2}$ utilizando la repetición? Al hacerlo, terminan con el producto de los términos, y que no parece adecuado. ¿Cualquier orientación sobre cómo conseguir manipular durante la etapa de inducción?

¡Gracias!

Answer 1

A pesar de que la matriz de la prueba por user58512 es mucho más elegante, también es posible demostrar mediante la recta de avance de la inducción. Lo que usted necesita demostrar que es $$f_{2(n+1)+1} = f_{n+1}^2 + f_{n+2}^2$$ utilizando sólo $f_{2k+1} = f_{k}^2 + f_{k+1}^2$ $k\leq n$ y la costumbre de la recurrencia de la relación de los números de Fibonacci. A la izquierda se uso dos veces, hasta que sólo los números impares a la izquierda, es decir,$2n+1$$2n-1$, y el enchufe en la fórmula que se está tratando de probar. Ahora aplique el Fibonacci de la recurrencia a ambos lados hasta que sólo términos en $f_n$ $f_{n-1}$ a la izquierda. Usted verá que los términos en ambos lados, se cancelará, y eso es todo. (Como se ve un poco como tarea para mí, que he dejado fuera los detalles y que acabo de esbozar el camino...).

Answer 2

Al principio conseguimos $$f_{n+1}^2+f_{n+2}^2 = f_n^2 +f_{n+1}^2+(f_{n+2}^2 -f_n^2)=f_{2n+1}+(f_{n+2}^2 -f_n^2)$ $

Si $f_{n+2}^2 -f_n^2=f_{2n+2}$, entonces la prueba se ha completado. Así que vamos a mostrar ese $$\begin{cases} f_n^2+f_{n+1}^2=f_{2n+1}\\ f_{n+2}^2-f_n^2=f_{2n+2} \end{casos} $$

para todos los $n$ mediante el uso de la inducción.

Si $n=1$, es trivial. Si estas fórmulas se mantienen en $n=k$, entonces el $$f_{k+1}^2+f_{k+2}^2 = f_k^2 +f_{k+1}^2+(f_{k+2}^2 -f_k^2)=f_{2k+1}+f_{2k+2}=f_{2(k+1)+1}$ $ y $$\begin{array}{lcl} f_{k+3}^2 -f_{k+1}^2&=&(f_{k+2}+f_{k+1})^2-f_{k+1}^2\\ &=&(f_{k+2}^2+f_{k+1}^2)+2f_{k+2}f_{k+1}-f_{k+1}^2 \\ &=&f_{2k+3} + f_{k+1}(f_{k+2}+f_k) \\ &=& f_{2k+3}+(f_{k+2}-f_k)(f_{k+2}+f_k)\\ &=& f_{2k+3}+f_{2k+2}=f_{2(k+1)} \end{matriz} $$ por lo que estas fórmulas son también sostenga a $n=k+1$.