¿Tomar los límites, movimiento legal?

Question

Estoy leyendo el siguiente artículo, pero había una línea en la que no estaba muy seguro de si estaba permitido o no.

Es donde tomaron el límite como $n\rightarrow \infty$

Ahora, tienen $\lim_{n\rightarrow \infty} \left [ (2n+1)\sin \frac{x}{2n+1} \right ]=x$

Tengo algún problema con esto porque $x$ y $n$ están relacionados por $x=(2n+1)w$ Así que, ¿no sería posible hacer $n\rightarrow \infty$ también afectan $x$ ?

¿Podemos simplemente 'pausar el $x$ ' y luego tomar el límite en términos de $n$ puramente, como lo hicieron?

Answer 1

De hecho, es una buena pregunta, pero a mí me parece que en este caso ocurre algo diferente. Ver por ejemplo : tomar $\lim_{w\to 0}\frac{\sin w}{w}=1$ si cambiamos, $w=\frac{x}{2n+1}$ que $\lim_{x\to 0}\frac{\sin \frac{x}{2n+1}}{\frac{x}{2n+1}}=1$ porque está cambiando la variable $w$ e implica que la variable $x$ también cambia. Pero es diferente de tomar $\lim_{n\to \infty}(2n+1)\sin \frac{x}{2n+1}$ ya que su $x$ no se ve afectado, porque cuando se toma la relación $w=\frac{x}{2n+1}$ su $w$ va a $0$ como $n\to \infty$ pero esta realización no dice nada sobre $x$ se mantiene igual. ¿Lo ves?