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$\mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ Es un campo por racionalización

Es necesario racionalizar $\displaystyle\frac{1}{a+b\sqrt[3]2 + c(\sqrt[3]2)^2}$

Estoy dado lo que necesito para racionalizar, es decir, $\displaystyle\frac{(a^2-2bc)+(-ab+2c^2)\sqrt[3]2+(b^2-ac)\sqrt[3]2^2}{(a^2-2bc)+(-ab+2c^2)\sqrt[3]2+(b^2-ac)\sqrt[3]2^2}$

Pero no veo la motivación detrás de esto. ¿Alguien puede dar una explicación más general de cómo llegar a esta expresión?

6voto

Frangello Puntos 21

También puede racionalizar esto haciendo uso de la identidad algebraica

$$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz \; = \; \left(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz\right)\left(x+y+z\right)$$

Usted puede ver esto como análoga a la binomial raíz cuadrada de racionalización, en el que tener un denominador de la forma $x+y,$ donde $x^2$ $y^2$ libre de radicales, que puede ser liberado de los radicales, al multiplicar tanto el numerador y el denominador por $x-y.$ En su situación, $x+y+z$ es lo que tiene en el denominador y lo que se hace es multiplicar tanto el numerador y el denominador por el "conjugado" $x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz.$ Esta identidad no se hará cargo de la racionalización de un general trinomio compuesto de raíces cúbicas, por el camino. Para esto no es mucho más complicado que la identidad que se va a trabajar. Ver este 16 de noviembre de 2010 AP-cálculo post en Matemáticas Foro para una discusión de cómo obtener una identidad.

Por cierto, esta algebraica de identidad tiene un montón de usos, el más conocido es, probablemente, una de las formas de obtención de la cúbico fórmula para resolver ecuaciones cúbicas. Esta identidad hace que una gran cantidad de apariciones en el siglo 19 textos de álgebra y más sobre este tema puede encontrarse en las siguientes sci.matemáticas hilo empecé el 23 de abril de 2009: Factorización de a^3 + b^3 + c^3 - 3abc. He congregado a más de un centenar de referencias antiguas a la que desde entonces, y un día yo podría escribir un estudio histórico de su matemática educativa y de las apariencias en el siglo 19 la literatura. Es también un estándar de identidad para aquellos serio acerca de la olimpiada matemática de problemas.

Un par de meses después de los sci.matemáticas puestos descubrí la siguiente encuesta corta el papel en esta identidad algebraica:

Desmond MacHale, Mi preferido es el polinomio, la Matemática de La Gaceta 75 #472 (junio de 1991), 157-165.

Ver también Marcos B. Villarino reciente (2 de enero de 2013) el papel de Un cubo de la superficie de revolución.

6voto

Andreas Caranti Puntos 35676

Racionaliza mediante algoritmo de Euclides como se utiliza para comprobar la identidad de Bézout.

Que $\alpha = \sqrt[3]{2}$. Obviamente tenemos que asumir $a+b\sqrt[3]2 + c(\sqrt[3]2)^2 = a+b\alpha + c \alpha^2 \ne 0$.

Considere el polinomio $0 \ne a + b x + c x^2 \in \mathbb{Q}[x]$. Puesto que es irreductible en $x^3 - 2$ $\mathbb{Q}[x]$, para el MCD tenemos $(a + b x + c x^2, x^3 - 2) = 1$. Utilizar el algoritmo de Euclides para encontrar polinomios $u, v \in \mathbb{Q}[x]$ tal que $(a + b x + c x^2) \cdot u + (x^3 - 2) \cdot v = 1$. Ahora evaluar esto $x = \alpha$ $(a + b \alpha+ c\alpha^2) \cdot u(\alpha) = 1$, de obtener, que\begin{equation} \frac{1}{a+b\sqrt[3]2 + c(\sqrt[3]2)^2} = \frac{1}{a + b \alpha+ c \alpha^2} = u(\alpha). \end{equation}

5voto

Shabaz Puntos 403

Puede multiplicar por $1+d\sqrt[3]2+e\sqrt[3]4$ e insisten que el producto no tiene cualquier factor de $\sqrt[3]2$ o $\sqrt[3]4$. Así $$(a+b\sqrt[3]2+c\sqrt[3]4)(1+d\sqrt[3]2+e\sqrt[3]4)=\\a+ebe+2cd+\sqrt[3]2(ad+b+2ce)+\sqrt[3]4(ae+bd+c)$ $

Así que necesitamos $ad+b+2ce=0, ae+bd+c=0$, que $$e=-\frac {ad+b}{2c}\\-a^2d-ab+2cbd+2c^2=0\\(a^2-2bc)d=2c^2-ab\\(a^2-2bc)e=b^2-ac$$ Then we make the leading term $ un ^ $ 2-a.c. para despejar las fracciones

4voto

user8269 Puntos 46

Racionalización multiplicando por los conjugados. Son de los conjugados de $\root3\of2$ $\rho_1\root3\of2$ y $\rho_2\root3\of2$ donde $\rho_1=e^{2\pi i/3}$ y $\rho_2=\rho_1^2=e^{4\pi i/3}$. Por lo tanto, desea multiplicar arriba y abajo por el $$(a+b\rho_1\root3\of2+c\rho_2\root3\of2^2)(a+b\rho_2\root3\of2+c\rho_1\root3\of2^2)$$ Multiply all that out, and simplify by using $ \rho_1\rho_2=1$ and $\rho_2^2=\rho_1$ and maybe $1+\rho_1+\rho_2=0$ y con suerte conseguirás lo que buscas.

Esto en general, trabaja en eso justificar le puede multiplicar siempre por todas las conjugaciones. La mala noticia es que no siempre es tan fácil encontrar expresiones simples para las conjugaciones.

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