$x^p-t$ No tiene ninguna raíz en el campo $\mathbb{F}_p(t)$

Question

No creo que comprendo plenamente.

Digamos que hay una raíz $x_0 \in K=\mathbb{F}_p(t)$ donde $p$ es un número primo.

A continuación, $x_0 = \frac{P(t)}{Q(t)}$ para algunos polinomios $P,Q \in \mathbb{F}_p[t]$. Podemos suponer $\gcd(P,Q)=1$

y $x_0^p-t= \frac{(P(t))^p}{(Q(t))^p}-t= \frac{P(t)^p-tQ(t)^p}{Q(t)^p} =0$, por lo que los coeficientes de $P(t)^p, tQ(t)^p$ debe ser idéntico, lo que contradice $\gcd(P,Q)=1$,

por tanto, $x_0$ no existe y el polinomio no tiene raíces en $K$.

soy sobre derecho?

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de todos modos, agradecería una explicación acerca de la $\mathbb{F}_p(t)$, lo $t$? ¿cuál es el significado de una variable que no pertenece a ningún "mundo"? No puedo utilizar el $t$, como si de un miembro de $\mathbb{F}_p$ y, por tanto, no puede asumir la $t^{p-1} = 1 \pmod p$...

Answer 1

El campo $K=\mathbb{F}_p(t)$ es el campo de fracciones de $R=\mathbb{F}_p[t]$, que es el principal ideal de dominio. Desde $x^p-t$ es un polinomio en a $R[x]$, Eisenstein criterio se aplica y $x^p-t$ es irreducible en a $R[x]$, así también en el polinomio anillo de $K[x]$, por Gauss lema.

En particular, $x^p-t$ no tiene raíces en $K$.

¿Se puede hacer sin recurrir a Eisenstein criterio? Sí, por supuesto. Una raíz debe ser de la forma$P(t)/Q(t)$,$P(t),Q(t)\in R[t]$. Entonces $$ P(t)^p=tQ(t)^p $$ y así $$ p\gr P(t)=1+p\gr(Q, t) $$ lo cual es imposible, porque $p$ no divide $1$.

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Su texto ciertamente denota por $t$ indeterminado, como $x$, o, lo que es equivalente, de cualquier elemento de un campo de extensión de $\mathbb{F}_p$ que es trascendental $\mathbb{F}_p$.

De hecho, si $t$ es un elemento algebraico sobre $\mathbb{F}_p$, el campo de $\mathbb{F}_p(t)$ es finito, por lo tanto perfecto, lo que significa que cualquier elemento tiene un $p$-ésima raíz y el polinomio $x^p-t$ es reducible.