Supongamos que divide a $n$ $3^n + 4^n$. Mostrar que divide a que $7$ $n$.

Question

Supongamos que $n \geq 2$ y $n$ es un divisor de $3^n + 4^n$. Demostrar que $7$ es un divisor de $n$.

Mi trabajo hasta ahora:

Tuve una hipótesis eso si $n| 3^n + 4^n$, entonces el $n = 7^k$ $k\in\mathbb{N}$. Pero esto no es necesariamente así. Tomar $n = 7⋅379$, donde $3^7 + 4^7 = 7^2⋅379$. Luego, divide a $3^7+4^7$ $3^n + 4^n$, y puesto que divide a $n$ $3^7+4^7$, debemos tener $n|3^n+4^n$.

Answer 1

En primer lugar, tomamos nota de que $3 \nmid 3^n + 4^n$$4 \nmid 3^n + 4^n$. Por lo $3 \nmid n$$2 \nmid n$.

Ahora, la reformulación de $3^n + 4^n \equiv 0 \pmod n$. Puesto que n es impar, nos encontramos con \begin{equation} 3^n \equiv (-4)^n \pmod n. \end{equation} Desde $\gcd(3, n) = 1$, podemos tomar el inverso de a $3 \mod n$, yo. e. existe $3^{-1}$, de modo que $3 \cdot 3^{-1} \equiv 1 \pmod n$. Multiplicando ambos lados por $(3^{-1})^n$ da \begin{equation} (-4 \cdot 3^{-1})^n \equiv 1 \pmod n. \end{equation}

Ahora, si $O_m(k)$ indica el orden de $k \mod m$, sabemos de álgebra que \begin{equation} O(-4 \cdot 3^{-1}) \mid n. \end{equation}

Ahora, para demostrar que $7 \nmid n$ para cualquier solución, supongamos $7 \nmid n$ algunos $n \in \mathbb{N}$. Supongamos $n > 1$ es la más pequeña de la solución, de modo que $7 \nmid n$$n \mid 3^n + 4^n$. Si podemos demostrar que cualquiera de las $n = 1$ o $7 \mid n$ o existe una $m < n$ la satisfacción de estas propiedades, hemos terminado.

Vamos a dividir 2 casos:

(Caso 1): $O_n(-4 \cdot 3^{-1}) = 1$, Entonces hemos terminado, ya que implica (el uso de la singularidad de los inversos): \begin{equation} (-4 \cdot 3^{-1}) \equiv 1 \pmod n \implies -4 \cdot 3^{-1} \equiv 3 \cdot 3^{-1} \pmod n \\ \implies -4 \equiv 3 \pmod n \implies n \mid 7 \implies n = 1 \vee n = 7. \end{equation}

(Caso 2): $O_n(-4 \cdot 3^{-1}) > 1$. Deje $d = O_n(-4 \cdot 3^{-1})$. A continuación,$(-4 \cdot 3^{-1})^d \equiv 1 \pmod n$, y desde $d \mid n$ hemos $(-4 \cdot 3^{-1})^d \equiv 1 \pmod d$. $d$ también es impar, y \begin{equation} -4^d (3^{-1})^d \equiv 1 \pmod d \implies -4^d \equiv 3^d \pmod d \end{equation}

Si $O_d(-4 \cdot 3^{-1}) = 1$, luego por el razonamiento anterior $d \mid 7$. Desde $d > 1$,$d = 7$. Desde $d \mid n$, $7 \mid n$.

Si $O_d(-4 \cdot 3^{-1}) > 1$, supongamos que m = $O_d(-4 \cdot 3^{-1})$. Entonces $m > 1$, $7 \nmid m$ y $m \mid 3^m + 4^m$. $m < n$, desde $m \mid \varphi(n)$. Así nos encontramos con un $m < n$ la satisfacción de las condiciones anteriores, lo que implica la $n$ no es la más pequeña.

Answer 2

Suponga $\enspace n\mid 3^n+4^n$, para algunos $n\in\mathbb{N}$, $n\geq 2$.

Por lo tanto, $$3^n+4^n=nm, \quad for \enspace m\in\mathbb{N}.$$

Desde $3^n+4^n$ es extraño $\enspace (odd\cdot odd=odd, \enspace even\cdot even=even, \enspace odd+even=odd)$, y desde $\enspace n \mid 3^n+4^n$, sabemos que $n$ es también impar. Por lo tanto, podemos expresar $3^n+4^n$ $$3^n+4^n=(3+4)\bigg(3^{n-1}-3^{n-2}4+3^{n-3}4^2-\ldots +3^24^{n-3}-34^{n-2}+4^{n-1}\bigg)$$

$$3^n+4^n=7k \qquad$$ cual $\enspace k=\big(3^{n-1}-3^{n-2}4+3^{n-3}4^2-\ldots +3^24^{n-3}-34^{n-2}+4^{n-1}\big).$

Desde $\enspace 7 \mid 7k$, se deduce que el $\enspace 7 \mid 3^n+4^n$.

Por lo tanto, hasta el momento tenemos, $$3^n+4^n=nm=7k$$

y, por lo tanto, $$n=7\bigg(\frac{k}{m} \bigg)$$

Si $\enspace m \mid k$, entonces bien, hemos terminado!

Por lo tanto, vamos a suponer que, al contrario,$\enspace m \nmid k$. Desde $\enspace m \nmid k$ existe $q\in\mathbb{N}, q>0$ tal que $m=7q$$n=\frac{k}{q}$, el cual $q\mid k$. $\enspace 7\nmid n$, desde $\frac{n}{7}=\frac{k}{m}$. Por lo tanto, $gcd(n,7)=1$. Ya hemos demostrado que $7\mid 7k$$n\mid 7k$. Por lo tanto,

$$gcd(n,7)=1, \enspace 7\mid 7k, \enspace n\mid 7k \enspace \Longrightarrow \enspace 7n\mid 7k \enspace \Longrightarrow \enspace n\mid k \enspace \Longrightarrow \enspace \frac{k}{q}\mid k$$

Desde $m\nmid k$, $k=mb+r$ para algunos $b,r\in \mathbb{Z}, \enspace 0\leq r < m$. Para algunos $s\in\mathbb{N}$,

$$\frac{k}{q}\mid k \enspace \Longrightarrow \enspace \frac{mb+r}{q}\mid k \enspace \Longrightarrow \enspace \big(7b+\frac{r}{q}\big)\mid k \enspace \Longrightarrow \enspace k=s\big(7b+\frac{r}{q}\big)$$

$$k=7sb+\frac{rs}{q}=mb+r \enspace \Longrightarrow \enspace b(7s-m)=r\big(1-\frac{s}{q}\big) \enspace \Longrightarrow \enspace \frac{7bq}{r}=\frac{q-s}{s-q} \enspace \Longrightarrow \enspace \frac{7bq}{r}=-1 \enspace \Longrightarrow \enspace 7bq=-r \enspace \Longrightarrow \enspace r=-mb \enspace \Longrightarrow \enspace k=mb-mb=0$$

Pero ya sabemos que $k>0$, por lo tanto, una contradicción. Por lo tanto, nuestra hipótesis es falsa, y $m\mid k$.

Por lo tanto, desde el $n=7\big(\frac{k}{m}\big)$$m \mid k$, por lo $7\mid n$.