Propiedades de Cp(X)

Question

En clase, hemos aprendido sobre el espacio $C_p(X)$, que es el espacio de todos los real continua de las funciones con valores en $X$ con la topología de punto-sabio convergencia. Para entender mejor el material, me puse a buscar en problemas. El único problema que he encontrado que estoy teniendo problemas con los que se pidió a verificar las propiedades de $C_p(X)$. Se va como sigue:

Considerar el espacio $X = C_p(I)$ donde $I = [0,1]$ Mostrar lo siguiente:

(1) $X$ no es metrizable

(2) $X$ no tiene una base contable

(3) $X$ es no-contables

(4) $X$ es separable

(5) cada uno de los puntos subconjunto de $X$ $G_{\delta}$- set

Sigo encontrando fuentes que utilizan funciones cardinales, pero nunca hemos hablado de ellos en clase. ¿Cómo podría esto ser hecho de no utilizar funciones cardinales?

Gracias!

Answer 1

Una condición necesaria para $X$ a ser el 1er contables sería que, para todos los $S \subset X$, secuencias suficiente para detectar los puntos en el cierre de $S$. Es decir, si $f \in \overline S$, entonces no es una secuencia $f_1,f_2,\ldots \in S$ convergentes a $f$.

Para cualquier conjunto finito $F \subset [0,1]$, debería ser posible construir una función continua $f_F$ tal que $f_F(x) = 0$ fib $x \in F$, e $f_F(\frac{x+y}{2}) = 1$ al $x,y \in F$ son distintos. Deje $S \subset X$ ser el conjunto de todas las funciones $f_F$. Es la constante cero de la función en el cierre de $S$? Puede ser el límite de una secuencia en $S$?

Como para (4), de hecho es verdad que $X$ sigue siendo separables cuando se considera en el marco de la más fina que la topología de uniforme de convergencia. Yo le recomiendo buscar en google la aproximación de Weierstrass teorema para obtener ideas sobre qué tipo de familias de funciones que usted puede intentar para su contables denso conjunto (no es necesario para demostrar este teorema, sin embargo,: p).

Para (5), hágase la pregunta: "¿qué puedo decir acerca de $f,g \in X$ si $f(q) = g(q)$ a cada número racional $q \in [0,1]$? Puedo cumplir esta condición en $g$ por que le obliga a estar en una contables de la colección de los barrios de $f$?"