¿Cuántas veces $8z^4+4z^3+2z^2+z^{-1}$ y el viento alrededor $0$ ?

Question

Soy un novato en la topología abstracta y estoy trabajando en algunos ejercicios sobre grupos fundamentales. Este es el problema. Considere $f: S^1 \to \mathbb {C} \setminus \{ 0 \}$ dado por $z \mapsto 8z^4+4z^3+2z^2+z^{-1}$ . ¿Cuál es el número sinuoso de $f$ sobre el origen?

Mi idea es la siguiente. Podemos colapsar $\{ a+bi \ | \ a \geq 0 \}$ a $1+0i \in S^1$ y deformar el resto de $\mathbb {C}$ a $S^1$ de forma continua. Denota $z = e^{i \theta }$ . Cuando $\theta = 0, \pi /2, \pi , \pi /3$ , $8z^4$ será $8+0i$ y $\Re (f(z)) \geq 8 - 4 - 2 - 1 > 0$ . De manera similar, cuando $\theta = \pi /4, 3 \pi /4, 5 \pi /4, 7 \pi /4$ , $\Re (f(z)) < 0$ . Intuitivamente, esto nos dice que $f$ pasa a través del punto $1 + 0i$ por cuatro veces, y por lo tanto el número de vueltas sería $4$ .

Mi pregunta es: 1. ¿Estoy en lo cierto, intuitivamente? 2. ¿Cómo escribir una prueba formal sobre esto? Encuentro extremadamente incómodo responder a preguntas como esta. Todo parece intuitivamente trivial, pero no estoy seguro de si me pierdo algo que requiera rigor matemático.

PD: No estoy muy familiarizado con los números complejos, por lo que la notación podría ser confusa o errónea. Lo siento por esto de antemano.

Gracias.

Answer 1

No estoy completamente seguro de qué decir sobre su intuición. Parece creer que el término $8z^4$ es lo más importante, lo que ciertamente es correcto. Además, es ciertamente correcto tratar de deformar $ \mathbb C \setminus\ {0\}$(y es crucial que$0$está excluido) a$S^1$. Formalmente, esto es más fácil de hacer por el mapa$z \mapsto z/|z|$ . En este punto, tu razonamiento intuitivo se vuelve un poco problemático. Hay resultados en la determinación del grado de mapeo contando las intersecciones de una curva con una raya, pero para aplicarlos, tienes que asegurarte de que todas estas intersecciones son transversales y, más importante aún, tienes que contar las intersecciones que incluyen una señal. (Hay que restar el número de intersecciones "hacia atrás" del número de intersecciones "hacia adelante", y la transversalidad es necesaria para asegurarse de que cada intersección es "hacia adelante" o "hacia atrás").

Pero una vez que tienes la idea de que el $z^4$ -dominan los términos, no necesitas ningún argumento de conteo, porque $z \mapsto z^4$ más o menos por definición tiene un número sinuoso $4$ . Así que es mejor hacer precisa la idea de que ese término es dominante: Para $z \in S^1$ , $|8z^4|=8$ mientras que $|4z^3+2z^2+z^{-1}|=7$ . Observando esto se ve que $H(z,t):=8z^4+(1-t)(4z^3+2z^2+z^{-1})$ para $z \in S^1$ y $t \in [0,1]$ tiene valores en $ \mathbb C \setminus\ {0\}$(parametriza el segmento de$f(z)$a$8z^4$). Así,$H$define una homotopía de$f$a$z \mapsto 8z^4$que a su vez es evidentemente homotópico para$z \mapsto z^4$. Por lo tanto, todos estos mapas tienen el mismo número de vueltas$4$ .