Qué es la transformada de Laplace de $\frac{1}{1+t}$

Question

En una mesa y también en WolframAlpha, me topé con esto

http://www.wolframalpha.com/INPUT/?i=Laplace+Transform+1%2F%281%2Bt%29

Por lo tanto la transformada de Laplace de $1/(1+t)$ al parecer es $-e^s \text{Ei}(-s)$. No hubo ninguna explicación de esta función de $\text{Ei}(-s)$ en la mesa ni el WolframAlpha. ¿Qué es esta extraña función?

Answer 1

Como ya han sido informados por la @MhenniBenghorbal, es una integral exponencial. $$ \mathcal{L}\Big\{\frac{1}{1+t}\Big\} = \int_0^{\infty}\frac{e^{-st}}{t + 1} dt $ que podemos conseguir el Laplace transforma dejando $u = 1 + t$. Entonces $du = dt$ ya \begin{align} \int_0^{\infty}\frac{e^{-st}}{t + 1}dt &= \int_1^{\infty}\frac{e^{-su + s}}{u}du\\ &= e^s\int_1^{\infty}\frac{e^{-su}}{u}du \end {Alinee el} donde $\int_1^{\infty}\frac{e^{-su}}{u}du = -\text{Ei}(-s)$. Por lo tanto $$ \mathcal{L}\Big\{\frac{1}{1+t}\Big\} = - e^s\text{Ei}(-s). $$