¿Cómo probar que el $a_n=n^{1/n}$ de la secuencia es convergente con la definición de convergencia?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- La prueba de que $\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ (5 respuestas )
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Darse cuenta de que $n^\frac{1}{n} > 1$ todos los $n$, todo se reduce a mostrar que para cualquier $\epsilon > 0$, hay un $n$ tal que $(1+\epsilon) \geq n^\frac{1}{n}$, o reordenando, que
$$ (1+\epsilon)^n \geq n $$
Ahora, vamos en primer lugar elegir un $m$ tal que $(1+\epsilon)^{m}$ es un número mayor que 2, digamos que el número más pequeño mayor que $3$ que usted puede conseguir. A partir de aquí, swap $m$$2m$. Esto hará que el lado izquierdo un poco más de 3 veces más grande, y a la derecha 2 veces más grande. La próxima duplicación todavía el doble de la derecha, pero la izquierda aumentará alrededor de 9 veces. La repetición, podemos ver fácilmente que el lado izquierdo en algún punto de superar a la de el lado derecho, y tenemos nuestra $n$
Eric Naslund
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50150
Así que aquí está un resumen de una prueba:
Paso 1: Observe que $n^\frac{1}{n}\geq 1$ todos los $n$.
Paso 2: Probar que $a_n$ es monótonamente decreciente para $n\geq 3$. Equivalentemente, tenemos que mostrar que $n^{(n+1)}>(n+1)^n$.
Paso 3: Mostrar que hay una larga que converge a $1$. Me las arreglé para hacer teniendo en cuenta las $b_n={a_{2^{2^n}}}$. (No aparece bien en Látex, ya que hay muchos anidada exponentes. Yo había escrito esta parte, pero decidí quitarlo)
A partir de estos tres hechos se puede concluir que el límite es de $1$.
cksubs
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66
Bien, la mejor prueba de ello es que la sucesión es decreciente y acotada a continuación (1); por lo tanto converge por la Monotonía Teorema de Convergencia...
La prueba de definición de convergencia va como esto:
Una secuencia $a_{n}$ converge a un límite L en $\mathbb{R}$ si y sólo si $\forall \epsilon > 0 $, $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\left | L - a_{n} \right | < \epsilon$ todos los $n \geq N $.
La proposición: $\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1 $
Prueba: Deje $\epsilon > 0$ ser dado. Entonces por Arquímedes propiedad de los números reales, no existe $M \in \mathbb{N}$ tal que $M < \epsilon$, a continuación, encontrar $x\in\mathbb{R}; x>2$ tal que $1+M>x^{1/x}$ y deje $P = \left \lceil x \right \rceil$. Entonces, desde el $f(x)=x^{1/x}$ está disminuyendo (por $x>e$) (trivial y la izquierda para el lector :D) tomar cualquier $x\in\mathbb{N}$ tal que $x>P$ y observar que (a causa de nuestra elección y $M$$P$) tenemos a $n^{1/n} \leq P^{1/P} \leq M \le 1 + \epsilon$ siempre $n\geq P$ $\left | 1 - a_{n} \right | < \epsilon$ siempre $n\geq P$. Por lo tanto $a_{n}$ converge (1).
