En un inglés simple, ¿qué significa ser trascendental?

Question

De Wikipedia

• Un trascendental número es un número real o complejo que no es algebraica

• Una trascendental función es una analítica de la función que no satisface una ecuación polinómica

Sin embargo, estas definiciones son, posiblemente, más bien críptico para aquellos que no están familiarizados con la literatura de las matemáticas superiores.

Así, en términos sencillos, ¿qué significa exactamente ser trascendental? ¿Cómo sería un trascendental número de ser diferentes a partir de un número normal, por ejemplo, 5. Y respectivamente, ¿cómo sería una trascendental función de ser diferente de un funcionamiento normal, decir $f(x) = x^2$

Answer 1

Vamos a jugar un juego. Supongamos que usted tiene un número $x$. Empezar con $x$ y, a continuación, puede agregar, restar, multiplicar o dividir por un número entero, excepto el cero. También se puede multiplicar por $x$. Usted puede hacer estas cosas tantas veces como desee. Si el total es cero, usted gana.

Por ejemplo, supongamos $x$$\frac23$. Multiplicar por 3, luego restar 2. El resultado es cero. Usted gana!

Supongamos $x$$\sqrt[3] 7$. Multiplicar por $x$, $x$ nuevo, a continuación, reste 7. Usted gana!

Supongamos $x$$\sqrt2 +\sqrt3$. Aquí no es fácil ver cómo ganar. Pero resulta que si se multiplica por $x$, restar 10, multiplicar por $x$ dos veces, y 1, entonces usted gana. (Esto no debería ser obvio; se puede intentar con tu calculadora.)

Pero si usted comienza con $x=\pi$, usted no puede ganar. No hay manera de $\pi$ a 0 si se trata de sumar, restar, multiplicar o dividir por números enteros, o multiplicar por $\pi$, no importa cómo muchos pasos que usted toma. (Esto también se supone que no deben ser obvias. Es una cuestión muy complicada la cosa!)

Cifras como $\sqrt 2+ \sqrt 3$ desde el que se puede ganar son llamados algebraicas. Cifras como $\pi$ con el que no se puede ganar se llama trascendental.

¿Por qué es esto interesante? Cada algebraica de números está relacionado con aritméticamente a los números enteros, y los ganadores se mueve en el juego mostrará cómo. La ruta de acceso a cero podría ser largo y complicado, pero cada paso es simple y no es un camino. Pero trascendental números son fundamentalmente diferentes: son no aritméticamente relacionados con los números enteros a través de simples pasos.

Answer 2

$\sqrt2$ satisface la ecuación: $$x^2-2=0$$ Del mismo modo, $\sqrt[\Large3]3$ satisface la ecuación: $$x^3-3=0$$ Números como este, que satisfacen ecuaciones polinómicas, se llaman números algebraicos. (En concreto, los coeficientes de estos polinomios deben ser números enteros.)

Otro algebraica de números es $\frac12$, ya que satisface: $$2x-1=0$$ De hecho, todos los números racionales son algebraicos. Pero, como los dos primeros ejemplos muestran, no todos los algebraicas número es racional.

Ahora, no es obvio, pero si se suman o se multiplican dos números algebraicos, se obtiene otra algebraica de números. Por ejemplo, $\sqrt2+\sqrt[\Large3]3$ satisface la ecuación: $$x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1=0$$

(En caso de que usted se está preguntando, números complejos también se pueden algebraicas. De hecho, no es difícil demostrar que un número complejo es algebraico si y sólo si sus partes reales e imaginarias son algebraicas.)

Un reales (o complejos), número que no algebraicas se llama trascendental. En 1873, el número de $e\approx2.71828$ fue probado trascendental. En 1882, $\pi\approx3.14159$ fue demasiado. Se desconoce si $e+\pi$ es trascendental. De hecho, ni siquiera estamos seguros de si es irracional! Lo mismo va para un número similar como $\pi^\pi$ y $e\pi$. ($e^\pi$, sin embargo, es trascendental.)

Answer 3

Entre el real en los números, algunos son enteros.

Otros son racionales, es decir, que son soluciones de una ecuación lineal como

$$px=q$$ where $p,q$ se entero. Los números no entran en este esquema se llaman irracionales.

Un lugar obvio que la generalización de este principio son los números que son soluciones de una ecuación polinómica, tales como

$$px^3+qx^2+rx+s=0$$ where $p,q,r,s$ son entero (cualquier otro grado, se puede hacer). Estos números se denominan algebraica, que es a la inversa de trascendental.

Los números algebraicos disfrutar de una propiedad especial: aunque hay una infinidad de ellos, pueden ser numerados (se dice que son contables). Por el contrario, el trascendental números no, no es un "más grande" infinidad de ellos.

Usted puede fácilmente entender que todos los números enteros son racionales y todos los racionales son algebraicos.

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Entre las funciones de variable real, algunos son polinomios.

Una fracción racional es el cociente de dos polinomios, es decir, una función de $y=\dfrac{Q(x)}{P(x)}$, que se verifica una ecuación como

$$P(x)y=Q(x).$$

Más generalmente, una expresión algebraica de la función $y=f(x)$ es tal que puede ser expresado como la raíz de un polinomio con coeficientes que son en sí mismos polinomios en $x$:

$$P(x)y^3+Q(x)y^2+R(x)y+S(x)=0.$$

Una función que no es algebraica se denomina trascendental.

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Mirando más de cerca, se puede observar que algebraicas elementos se definen a partir de las ecuaciones que utilizan un número finito de sumas y multiplicaciones. Trascendental elementos requieren "más fuerte" herramientas (tales como un número infinito de términos).

Answer 4

La única cosa críptico veo en la citada definición de "trascendental número de" es que usted no ha definido por primera vez lo que es un número algebraico. Una expresión algebraica es un número de serie que es una raíz de un polinomio con coeficientes racionales. Que es equivalente a decir que es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros. Por lo tanto las raíces de $$ \frac 5 8 x^3 - \frac{21}2 x^2 + \frac{17}{12} x + 19 = 0 $$ son números algebraicos. El denominador común de estos coeficientes es $24$, y multiplicando ambos lados por que tenemos $$ 15x^3 - 252 x^2 + 34 x + 456 = 0 $$ y que la ecuación tiene las mismas raíces, pero tiene coeficientes enteros.

Los números racionales son números algebraicos. Por ejemplo, $\dfrac{17}{12}$ es una raíz de $$ x - \frac {17}{12} = 0 $$ o de $$ 12x - 17 = 0. $$

La función de $x\mapsto \sqrt[3] x = f(x)$ es una expresión algebraica de la función en la definición, ya que satisface la ecuación polinómica $$ f(x)^3 - x = u^3 - x = 0 $$ en la variable $u=f(x)$. En otras palabras, no es sólo el polinomio de funciones que satisfacen ecuaciones polinómicas.

Answer 5

Un trascendental número es un número que no es una raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes enteros. Un ejemplo de un trascendental número es $\pi$. Por otro lado, $5$ no es trascendental porque es una raíz del polinomio $x - 5$.

Del mismo modo, una trascendental función es una función de $f(x)$ que no satisface una trivial ecuación polinómica $P(x, f(x)) = 0$ (no trivial en el sentido de que al menos uno de los coeficientes es distinto de cero). Un ejemplo de una trascendental función es $\sin(x)$. Por otro lado, $f(x) = \sqrt{x}$ no es trascendental, porque satisface la ecuación de $f(x)^2 - x = 0$.