Derivada de un Integral donde los límites de integración no son lineales

Question

$y'=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a}^{\sqrt{x}}f(t)dt$

Aquí,$y$ es la función de área dada por$y = \int_{a}^{\sqrt{x}}f(t)dt$

Digamos que$y=F(x)$.

$$y'=F'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{ \int_{a}^{\sqrt{x+h}}f(t)dt-\int_{a}^{\sqrt{x}}f(t)dt}{h}$ $ En la elaboración de lo que obtenemos,$$y'=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\int_{\sqrt{x} }^{\sqrt{x+h}}f(t)dt}{h}$ $ Sabemos que,$$\frac{\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{x+h}}f(t)dt}{h}$$ is the average of $ f (t) $. Entonces tenemos,$$y'= \lim_{h\rightarrow 0}f(c)$$ where $ f (c)$ is the average of $ f (t) $ en el intervalo. Al tomar el límite,$$y'=f(\sqrt{x})$ $ que es incorrecto.

¿Dónde podría haber ido mal?

Editar: Mis declaraciones sobre "Linearización" han sido retiradas.

Answer 1

Sea$F$ la antiderivada de$f$. Entonces

$$\int_a^{\sqrt x}f(t)\,dt=F(\sqrt x)-F(a)$ $ Y por la regla de la cadena

ps

Answer 2

La declaración "sabemos que $\frac{1}{h}\int_{\sqrt x}^{\sqrt{x+h}}f(t)dt$ es el promedio de $f$" no es correcto, ya que el intervalo de integración no tienen la longitud $h$. Ella tiene una longitud de $\sqrt{x+h}-\sqrt{x}$, por lo que el promedio es en realidad $$ A_hf(x):=\frac{1}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{x+h}}f(t)dt. $$

Como usted sugiere, este tiende a $f(\sqrt{x})$$h\to 0$, por lo que su original se convierte en la expresión: $$ \frac{1}{h}\int_{\sqrt x}^{\sqrt{x+h}}f(t)dt=\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}A_hf(x)\a \frac{1}{2\sqrt{x}}f(\sqrt{x}), $$ desde $\lim\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$ es simplemente la derivada.

Answer 3

No hay suficiente información para determinar qué$f(x)$ es.

En cuanto a la determinación de la derivada de una integral, el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que ---

$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)$

Esto se puede derivar de$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt = \frac{d}{dx}\left(F(a(x)-F(b(x)\right)$, y aplicar la regla de cadena, para obtener$f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x)$.

Por lo tanto, $\displaystyle y' = \frac{d}{dx}\int_a^{\sqrt{x}}f(t)\,dt=\frac{f(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.$