Aclaración del enfoque Landauer

Question

Estoy tratando de entender el Enfoque Landauer . Consideremos la configuración: (contacto izquierdo)-(conductor)-(contacto derecho). Para simplificar, el conductor es un alambre 1d (la parte transversal no es relevante para esta pregunta). Los estados propios del conductor son

$$\psi_n(x)=\sin(k_nx), \qquad k_n=\frac{n\pi}{L}$$

( $L$ longitud del conductor). También ignoro el desorden. En el enfoque de Landauer se supone que el contacto izquierdo (derecho) rellena los estados que van hacia la derecha (izquierda) $e^{ik_n x}$ donde $k_n=\frac{2\pi}{L}$ con $n>0$ ( $n<0$ ). Luego se supone que estos "estados de dispersión" están poblados con una distribución de Fermi y se calcula la conductancia.

Me gustaría entender por qué hay que pensar en términos de estos estados de dispersión porque no satisfacen la condición de contorno $\psi(0)=\psi(L)=0$ .

Answer 1

Tu planteamiento parece incompatible con tus suposiciones; es decir, no estás utilizando el espectro de energía correcto. A juzgar por la expresión de la función de onda que has dado ( $\psi_{n}(x)=\sin(k_{n}x)$ ), parece como si estuvieras resolviendo un problema de pozos cuadrados infinitos en 1-D. Las diferentes $n$ 's etiquetan los estados propios discretos de energía en su pozo cuadrado como un átomo de hidrógeno. Esto hace no representan un material cristalino (es decir, un salto de electrones en una red periódica de iones); el alambre 1-D, para el que intentas resolver la fórmula de Landauer, entra en esta categoría, al menos en el límite de no interacción cuando tienes bandas de Bloch. El espectro que estás intentando calcular podría considerarse como el de un punto cuántico; es un sistema 0-D, excepto que tu confinamiento sería en las tres dimensiones. También vale la pena mencionar que cuando uno normalmente utiliza la fórmula de Landauer una suposición implícita es que se trata de líquidos de Fermi. Para tus requisitos específicos, es decir, un alambre 1-D, no consideraremos líquidos de Luttinger. Que yo sepa, no conozco ninguna generalización de la fórmula de Landauer para los líquidos de Luttinger.

Sin embargo, a pesar de tus intentos de calcular la conductancia de un hilo 1-D, no hay ninguna razón por la que el enfoque de Landauer no funcione para el sistema que has proporcionado, es decir, un punto cuántico. Además es pedagógico empezar con un sistema simple (digamos) con un solo nivel discreto. Digamos que su conductor es un punto cuántico con un solo nivel de energía discreto acoplado a dos contactos metálicos (fuente y drenaje) que tienen una abundancia de estados electrónicos. Como se muestra en la siguiente figura, al igual que el flujo de agua, los electrones del contacto de origen (con energía $>\varepsilon$ ) saltará al nivel de energía discreto. Entonces el electrón que llega a este nivel de energía discreto salta al contacto de drenaje. Estoy seguro de que debe ser obvio que debe tener $\mu_{1}>\varepsilon>\mu_{2}$ para que esto funcione.

Las cantidades $\gamma_{1}$ y $\gamma_{2}$ son algunos parámetros de interfaz (con unidades de energía) que determinan la fuerza de acoplamiento de este nivel discreto a los contactos fuente y drenador respectivamente. Ahora bien, $\gamma_{1/2}/\hbar$ representan la velocidad a la que un electrón puede saltar dentro/fuera del nivel de energía discreto. Por análisis dimensional puedes convencerte de que $\gamma_{1/2}/\hbar$ es efectivamente una tasa (es decir, unidades $s^{-1}$ ). Sé que esto es un poco a mano, pero $\gamma_{1/2}$ son parámetros fenomenológicos y pueden determinarse de forma que sean coherentes con nuestro formalismo. Las cantidades $f_{1/2}(\varepsilon)$ son $$f_{1/2}(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu_{1/2}}{k_{B}T}}\right)}$$ son las distribuciones Fermi-Dirac en los contactos fuente/drenaje. Ahora, para $T=0$ tenemos $f_{1}(\varepsilon) = 1$ y $f_{2}(\varepsilon) = 0$ . En otras palabras, dado que un estado en el contacto fuente está siempre ocupado a energía $\varepsilon$ saltará al nivel de energía discreto. Al mismo tiempo, puesto que un estado en el contacto de drenaje está siempre vacío a la energía $\varepsilon$ el electrón, que saltó de la fuente al nivel de energía discreto, saltará ahora al drenaje. La expresión para la corriente, debida a un único nivel de energía discreto, puede escribirse como

\begin{align} I(\varepsilon)&=\frac{2e}{\hbar}\left(\gamma_{1}f_{1}(\varepsilon)-\gamma_{2}f_{2}(\varepsilon)\right)\\ &=\frac{2e}{\hbar}\gamma\left(f_{1}(\varepsilon)-f_{2}(\varepsilon)\right) \end{align}

donde en la segunda línea hemos supuesto el caso simple $\gamma_{1}=\gamma_{2}$ (el factor de 2 proviene de la degeneración del espín). Sin embargo, si ahora tuvieras más de un estado, como (digamos) en el alambre cuántico 1-D, puedes encontrar la corriente total mediante

\begin{align} I&=\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon\; I(\varepsilon)D(\varepsilon)\\ &=\frac{2e}{\hbar}\gamma\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon\;\left(f_{1}(\varepsilon)-f_{2}(\varepsilon)\right)D(\varepsilon) \end{align}

donde $D(\varepsilon)$ es la densidad de estados del alambre 1-D. El gráfico de la densidad de estados se muestra a continuación

Puede observarse que sólo los estados electrónicos del recuadro rojo conducirán alguna corriente, ya que satisfacen $\mu_{1}>E>\mu_{2}$ (por favor, disculpe el hecho de que estoy usando $E$ y $\varepsilon$ indistintamente). Para una única subbanda, la densidad de estados en un nanocable 1-D es la siguiente $D(E)\propto E^{-1/2}$ . La imagen anterior muestra la densidad de estados de un nanohilo multisubbanda, cuyas derivaciones se pueden encontrar en muchas fuentes excelentes. Por ejemplo, consulte la sección 9.5.3. de este referencia.

Ahora bien, al observar que $\mu_{1}-\mu_{2}=eV$ donde $V$ es la tensión aplicada entre la fuente y el drenador, se puede hacer la siguiente aproximación

\begin{align} f_{1}(\varepsilon)-f_{2}(\varepsilon) &= \frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu_{1}}{k_{B}T}}\right)}-\frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu_{2}}{k_{B}T}}\right)} \\ &\approx \frac{\partial}{\partial\mu}\left\{ \frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu}{k_{B}T}}\right)}\right\} \left(\mu_{1}-\mu_{2}\right) \\ \end{align}

Sin embargo, mediante un simple cambio de variables, es fácil demostrar que $$\frac{\partial}{\partial\mu}\left\{ \frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu}{k_{B}T}}\right)}\right\} =-\frac{\partial}{\partial\varepsilon}\left\{ \frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu}{k_{B}T}}\right)}\right\} $$ Por lo tanto, definir $$f(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp\left({\displaystyle \frac{\varepsilon-\mu}{k_{B}T}}\right)}$$ y $\mu_{1}\approx\mu_{2}\equiv\mu$ podemos reescribir la expresión para la corriente como

\begin{align} I &= \frac{2e}{\hbar}\gamma\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon\;\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)D(\varepsilon) \\ &= \frac{2e}{\hbar}\gamma\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon\;\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)\left(eV\right)D(\varepsilon) \\ \frac{I}{V} &= \frac{2e^{2}}{h}\left(\gamma\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon\;\left(-\frac{\partial f(\varepsilon)}{\partial\varepsilon}\right)D(\varepsilon)\right) \end{align}

En $T \rightarrow 0$ es fácil ver que $\partial f(\varepsilon)/\partial \varepsilon$ actúa como una función delta en $\varepsilon = \mu$ y la cantidad en el paréntesis redondo es simplemente un número proporcional a la densidad de estados en $\varepsilon = \mu$ es decir $D(\mu)$ . Podemos entonces escribir la conductancia como $$\sigma = \frac{2e^{2}}{h}M(\mu)$$ donde $M(\varepsilon)$ es la "densidad de modos" a la energía $\varepsilon$ .

Ahora bien, si desea incorporar elástico dispersión en este formalismo basta con introducir un factor de $$P(\varepsilon)=\frac{\Lambda(\varepsilon)}{\Lambda(\varepsilon)+L}$$ en la integral sobre $\varepsilon$ arriba. $P(\varepsilon)$ representa la probabilidad de que un electrón con energía $\varepsilon$ recibirá volver desparramado. $\Lambda(\varepsilon)$ es obviamente la distancia media a la que el electrón (con energía $\varepsilon$ ) entre colisiones sucesivas (es decir, el recorrido libre medio); obsérvese que, puesto que se supone que estas colisiones son elásticas, el mismo valor de $\Lambda(\varepsilon)$ puede utilizarse para este electrón en particular durante todo el proceso de transporte, desde la fuente hasta el drenaje. Ahora bien, cuando un electrón sufre una colisión, puede dispersarse hacia delante o hacia atrás. Haciendo un promedio estadístico se puede demostrar que se dispersa hacia adelante y hacia atrás con la mitad de probabilidad cada uno. Ahora, si la longitud de mi dispositivo $L$ era igual al recorrido libre medio $\Lambda(\varepsilon)$ o, en otras palabras, si sólo hubiera un dispersor en mi dispositivo, entonces obtendría $$P(\varepsilon)=\frac{\Lambda(\varepsilon)}{\Lambda(\varepsilon)+L} = \frac{1}{2}$$ que es exactamente lo que esperamos.

Además, para responder a su última pregunta, normalmente utilizamos las condiciones de contorno de Born-von Karman en los sólidos cristalinos y no las de Dirichlet.