El recuento infinito numerable de la unión infinita numerable de conjuntos es numerable.

Question

¿Cómo se puede probar que cualquier colección de conjuntos $\{X_n : n \in \mathbb{N}\}$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}$ el conjunto $X_n$ es equipotente al conjunto de números naturales, entonces la unión de todos estos conjuntos, $\bigcup_{i\in \mathbb{N}}$ $X_i$ también es equipotente al conjunto de números naturales? (Por equipotente me refiero a que existe una función biyectiva $f:X_n \to \mathbb{N}$.)

¿Es falsa esta afirmación tal como está?

Answer 1

La respuesta depende de tu teoría de conjuntos.

Si tu teoría de conjuntos incluye el Axioma de (Elección) Contable, entonces puedes proceder de la siguiente manera:

1. Para cada $n\in\mathbb{N}$, selecciona una biyección $f_n\colon X_n\to\mathbb{N}$. (Este paso requiere el Axioma de Elección Contable);
2. Selecciona una biyección $g\colon\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}$; hay varios ejemplos explícitos de esto. Por ejemplo, la función emparejadora de Cantor $g(p,q) = \frac{(p+q)(p+q+1)}{2}+q$.
3. Define $f\colon \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}(X_n\times\{n\})\to \mathbb{N}$ mapeando $(x,n)$ a $g(f_n(x),n)$.

Esto define una biyección entre la unión disjunta de los $X_n$ en $\mathbb{N}$. Para obtener una biyección en el caso en que los $X_n$ no son disjuntos, nota que $\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}} X_n$ se inserta en la unión disjunta (mapea $x$ en la unión a $(x,m)$ donde $m$ es el menor $n\in\mathbb{N}$ tal que $x\in X_n$), la cual es biyectable a $\mathbb{N}; entonces usa el Teorema de Cantor-Bernstein aplicado a esta inserción y a la inserción que mapea $\mathbb{N}$ a $X_1$ en la unión para obtener una biyección.

Sin embargo, si tu teoría de conjuntos no incluye el Axioma de Elección, entonces la respuesta puede ser que la unión no necesariamente sea biyectable con $\mathbb{N}$. En particular, es consistente con ZF que los números reales sean una unión contable de conjuntos contables, y por supuesto que los números reales no son biyectables con $\mathbb{N}$.

Answer 2

Si deseas demostrar que la unión contable de subconjuntos contables es contable, puedes usar Cantor-Schröder-Bernstein (no creo que use AC --incluso en verano :) ), y establecer inyecciones entre $\mathbb N$ y $\mathbb N \times \mathbb N$, y en la dirección contraria, generalizando así:

toma dos números primos, por ejemplo 2,3, y asigna : $(a,b)\rightarrow 2^a3^b$ (puedes ver que, para generalizar a un producto de k-copias de $\mathbb N$, solo toma k números primos diferentes; si deseas un producto realmente infinito contable, esto es quizás más delicado), y una inyección en la dirección opuesta está dada por, por ejemplo, n->(n,0,0,...).

Y, por cierto, cualquier elección de inyecciones en CSBernstein permite construir una biyección real.

EDIT: Creo que no es demasiado difícil demostrar que el mapa (a,b)->$2^a3^b$ es una inyección; si tuviéramos $2^a3^b=2^{a'}3^{b'}$, se seguiría que $2^{a-a'}3^{b-b'}=1; por simples argumentos de divisibilidad, cada uno de los factores en el lado izquierdo tendría que dividir a 1; entonces se sigue que a-a'=0 y b-b'=0, es decir, a=a', b=b'.

EDIT#2: Por favor, consulta algunas de las advertencias en la sección de comentarios acerca de concluir que la unión de conjuntos contables es contable.