Quiero entender la definición del determinante de un$n\times n$ matriz real$A$ como el volumen firmado de la imagen del cubo unitario$C'$ bajo la transformación lineal dada por$A$ , Es decir$x\to Ax$. Sin embargo, estoy fallando en dar sentido a las palabras firmadas . ¿Cuál será la definición precisa de esto? Será el$\int\int...\int dx_1dx_2\cdots dx_n$ sobre la imagen$C'$. Creo que esto es una manera complicada de definir el volumen firmado. ¿Puede alguien sugerir otra manera?
Gracias
Esto es algo tradicional de álgebra lineal, no maneja muy bien porque está diseñado para manejar sólo los vectores, escalares y lineal de los mapas (a veces representados por matrices) que actúan sobre vectores. La razón por la que usted está teniendo tantos problemas en la comprensión de lo que es un "firmado volumen" podría ser es simple: firmado volúmenes no pertenecen como algebraica de los elementos en el mismo espacio vectorial usted está acostumbrado a tratar con, por lo que no es claro qué tipo de objetos son estos y cómo describirlos.
Una solución a este problema es utilizar el álgebra geométrica. El álgebra geométrica tiene como parte de una cuña de producto de vectores que no produce otro vector, pero algo que se llama 2-vector, o un bivector.
Este sería escrito
$$C = a \wedge b$$
donde $C$ es un 2-vector y $a$, $b$ son vectores.
El espacio de la 2-vectores es en sí mismo un espacio vectorial. 2-vectores pueden ser suman y se restan o se multiplica por escalares.
Interpretación geométrica es fundamental aquí. Creo que de ordinario vectores ("1-vectores") como ponderado de las direcciones. Cada vector (excepto el 0 del vector) tiene asociado un vector unitario ("dirección") y una unidad de magnitud (un "peso"). Es importante destacar que, dos vectores que son múltiplos escalares de cada uno de los otros podría decirse que tienen la misma dirección pero con diferentes pesos.
Otra forma de verlo es decir que cada unidad de vector representa una 1d subespacio a través de $\mathbb R^n$.
En el álgebra geométrica, el espacio vectorial de los 2-vectores también tiene unidad-2-vectores. Interpretamos la unidad-2-vectores como los aviones. Por lo tanto, 2-vectores son ponderado de los aviones. Cada 2-vector representa un plano (o de dos dimensiones) el subespacio de $\mathbb R^n$.
2-vector y un 1-vector puede ser encajada para formar un 3-vector, y esto se interpreta como un "ponderado" o "orientada volumen". En $\mathbb R^3$, este es un espacio vectorial consta de una sola unidad 3-vector y todos sus múltiplos escalares. De nuevo, me refiero a la idea de que cada unidad de $k$-vector representa un subespacio. En este caso, de la unidad 3-vector que representa un subespacio de $\mathbb R^3$ que es, también, $\mathbb R^3$ sí.
Cuando estamos en $\mathbb R^n$ en lugar de 3-vector que representa 3d subespacio, pero hay muchos de esos subespacios que no son múltiplos escalares de cada uno de los otros. Sin embargo, el $n$-vector tiene la misma calidad de todas las $n$-vectores de ser múltiplos escalares de uno a otro, por lo que es adecuado para describir una generalización de la noción de volumen.
Ahora, tal vez, la pregunta real es, ¿cuál es la diferencia entre una unidad de 3-vectores y su inverso aditivo? Es decir, ¿qué significa para un subespacio a ser "orientado"?
Para responder a esta pregunta, yo regreso para el caso de 1-vectores, ordinario o por vectores.
Un vector $v$ y su inverso aditivo $-v$ podría ser pensado a punto en direcciones opuestas. Esto es fácil de visualizar, y que no debería dar ningún problema. Aún así, quiero señalar que hay una cierta noción de la orientación ya está presente incluso en este caso. En lugar de simplemente decir $v$ $-v$ son múltiplos escalares de cada uno de los otros, podemos decir que el $v$ representa una 1d subespacio de una manera particular, y $-v$ representa el mismo subespacio pero orientado de una manera opuesta.
(Cualquier dado el subespacio generalmente sólo admite dos orientaciones de esta manera.)
¿Qué pasa con un 2-vector? Generalmente, cuando hablamos de aviones, copiamos y hablar de los aviones vectores normales en lugar de eso, en cierta forma, las personas ya están familiarizadas con la idea de orientado a los aviones. Aún así, ayuda a imaginar esta intrínsecamente, sin hablar de las normales. Yo suelo imaginar una hoja de papel con una espiral en sentido antihorario. La espiral define la orientación de la hoja. Otra hoja de papel que describe el mismo subespacio podrían, en cambio, tiene espirales de las agujas del reloj.
(Las agujas del reloj y en sentido contrario: de nuevo, sólo dos orientaciones.)
¿Qué pasa con un 3-vector, el "orientada volumen"? Esto se hace generalmente con las manos. Usted ha oído hablar de la mano derecha de la regla, estoy seguro. Usted puede elegir un 3-vector construido a partir de un conjunto de vectores de la base, de acuerdo a la derecha-la regla de la mano, o usted puede elegir uno construido a partir de una "izquierda-la regla de la mano." Los dos representan el mismo subespacio (todos los de $\mathbb R^3$), sin embargo son inversos aditivos en este sistema, y ya hemos identificado, inversas, para los dos últimos casos, como denotando orientaciones opuestas.
(A derecha e izquierda de las reglas. De nuevo, sólo dos orientaciones para un subespacio.)
En general $\mathbb R^n$, hay muchas más $k$-vectores, pero el $n$-vector siempre tiene la calidad de describir el subespacio que es todo el espacio en sí.
Hasta ahora, he mostrado cómo subespacios se puede representar algebraicamente mediante el álgebra geométrica (como el exterior de álgebra). También se pueden usar matrices cuyos núcleos son aquellos subespacio, pero esas matrices no captan la idea importante de la orientación.
En virtud de lo geométrico y exterior álgebras algebraicas de los elementos que describen los subespacios llevan la información acerca de los subespacios orientaciones. Cada subespacio sólo tiene dos orientaciones.
Ahora vamos a hablar de álgebra lineal y de la acción de los operadores lineales ("matrices cuadradas") $k$- vectores.
No es una extensión natural de un operador lineal para actuar en estos orientado subespacios. Esto es, en GA lenguaje, llamado "outermorphism" (después de la cuña también ser llamado un "exterior" de producto).
Definir la acción de un lineal mapa de $\underline T$ 2-vector $C = a \wedge b)$
$$\underline T(C) = \underline T(a \wedge b) \equiv \underline T(a) \wedge \underline T(b)$$
Que la fantasía de matemáticas para "$\underline T$ actúa en cada uno de los vectores y, a continuación, las dos imágenes son de cuña". Esto le da una manera significativa a hablar de "matrices" que actúa en 2-vectores.
(Es por esta razón que GA usuarios rara vez hablan de "matrices." La expresión de la matriz es realmente diferente cuando hablamos de $\underline T$ que actúa sobre el espacio de los 2-vectores. Tener que calcular nuevas matrices para cada tipo de $k$-vector que puede ser ejecutada es torpe, y el álgebra, por lo general permite para más compacto expresiones de reflexiones, rotaciones y otras operaciones comunes.)
Como es de esperar, esto se extiende a los n-vectores también. Deje $i = a_1 \wedge a_2 \wedge \ldots \wedge a_n$ $n$- vector, por lo que
$$\underline T(i) \equiv \underline T(a_1) \wedge \underline T(a_2) \wedge \ldots \wedge \underline T(a_n)$$
Recuerde, todos los n-vectores en $n$ dimensiones son múltiplos de la unidad n-vector. O, podemos decir fácilmente todos los n-vectores son múltiplos de $i$. Así que podemos escribir
$$\underline T(i) = \alpha i$$
para algunos escalares $\alpha$. $\alpha$ es el factor determinante. Todo el determinante es realmente diciendo es que cualquier $n$-vector que se pone en este operador lineal sale como un escalar múltiplo de sí mismo. Que podría ser invertido en la orientación. Se pueden escalar hacia arriba o hacia abajo por algún factor.
El factor determinante es sólo un autovalor. El "vector propio" no es un vector, pero un n-vector.
En resumen, que he descrito cómo álgebra geométrica puede representar subespacios en algún espacio vectorial con la generalizada vectores llama $k$-vectores. He mostrado cómo los objetos están construidos. He demostrado que estos objetos tienen orientación asociados con ellos. También he descrito la forma lineal de operadores puede ser hecho para actuar en estos $k$-vectores naturales, extensión lógica de su forma de actuar sobre ordinario de vectores. El determinante de un operador lineal es sólo un autovalor, con "vector propio" ser la (unidad) $n$-vector del espacio.
No voy a entrar en mucho detalle aquí, pero hay una especie de "física" para ganar al menos algunas intuición sobre firmado volúmenes.
Considere la posibilidad de levantar una masa de $m$ hasta una altura de $h$. Claramente, hemos impartido $mh$ unidades de la energía potencial.
Ahora, vamos a invertir la orientación de la imagen, de modo que en lugar de pasar de $0$$h$, nos movemos de $0$$-h$. Claramente, en el que hemos hecho $-mh$ unidades de trabajo. En particular, hemos hecho el trabajo "en la dirección negativa".
Estas cantidades son las mismas que los volúmenes, pero uno de ellos ", añade" la energía potencial y el otro toma la energía potencial de distancia. El signo mantiene un registro de la propiedad.
Una buena intuición es la idea de la rígida en continuo movimiento, aplicable a real del producto interior de los espacios.
En primer lugar, queremos que nuestros movimientos rígidos para actuar en tuplas de vectores en el espacio (el número de los cuales es igual a la dimensión). En segundo lugar, como el que fijar el punto de referencia de estos vectores en el origen, queremos que nuestros movimientos rígidos para fijar el origen. Tercero, queremos rígidos movimientos para preservar las distancias. Cuarto, queremos un rígido movimiento para trazar un camino en el espacio de configuración de todas las tuplas ordenadas de vectores, por lo que nuestros rígidos movimientos debe contener el mapa de identidad. Quinto, la rigidez de la moción debe seguir un "camino continuo." Sexto, ya que la idea de "rotación de un objeto" es independiente de la del objeto en la posición actual, y también queremos que nuestros movimientos para ser invertible, entonces, queremos que nuestros movimientos sean acciones del grupo.
Por lo tanto, se puede considerar continua mapas de $[0,1]\to{\rm O}(V)$$0\mapsto{\rm Id}_V$. Además del volumen de los asociados parallelotopes (que son los de mayores dimensiones que las generalizaciones de los paralelogramos y parallelepipeds), ordenó una tupla de vectores tiene más información adjunta a la misma: a saber, que la órbita es en virtud de la acción de la trayectoria-conectado componente de la identidad en ${\rm O}(V)$. El grupo actúa transitivamente y hay dos de esos componentes, por lo que hay dos órbitas. Entonces podemos definir el signo de la unidad de cubo de la órbita (asociada a un elegido ordenó ortonormales base de $V$) $+1$ y hacer la señal de la otra órbita $-1$. Multiplique el volumen y firmar el formulario de consentimiento firmado determinante.
Afortunadamente, la firma de volumen puede ser visto para ser multilineal como una función de la $n$ vector de argumentos mediante el examen de la geométrica efecto de primaria de la matriz de operaciones y teniendo en cuenta la degeneración, de modo que no solamente "firmado volumen" y "orientación" admitir una interpretación intuitiva a través de este camino, pero eso es lo que hace el determinante mapa. Mientras la maquinaria de avanzada para alguien que acaba de aprender acerca de la verdadera espacios vectoriales, la maquinaria es todo muy natural y una vez que está en este lugar se convierte podría decirse que "la" manera de entender la idea de firmado el volumen y la orientación en este contexto.
En este contexto, firmado volumen es simplemente un término que contiene un poco más de información que el volumen solo. Es análogo a la velocidad y la velocidad.
La magnitud de la determinante de una transformación lineal es el número que las escalas de los volúmenes en el espacio. Sólo necesitamos considerar la unidad de la bola, sin embargo, porque si sabes que la escala de la unidad de la pelota por ese número, por la linealidad simplemente podemos multiplicar arbitraria volúmenes por el mismo número, y nos dirá el volumen de la escala de volumen para la arbitrariedad de la figura.
Sin embargo, no necesitamos tomar la magnitud de la determinante, simplemente podemos trabajar con el determinante. De hecho, la magnitud es la pérdida de información; es decir, el signo. El signo realidad nos dice algo muy interesante: nos dice si la transformación lineal invierte el espacio. Para entender la inversión, se puede saber si un operador lineal ha invertido nuestro espacio si no podemos rotar y escalar el camino de regreso. Pensar que el avión y los dos operadores:
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}
La primera de las escalas de cualquier volumen 4. El segundo tiene determinante -4, pero si tomamos las magnitudes vemos que también las escalas de volúmenes en 4. La diferencia es que los volúmenes se han invertido en el marco del segundo operador. Podemos decir que es invertida, porque incluso si nos re-escala de $1/2$, no podemos girar camino de regreso a nuestro original sistema de coordenadas (no Podemos rotar el sistema de coordenadas $(-\hat{x},\hat{y})$$(\hat{x},\hat{y}))$.
Para ponerlo simplemente, tenemos los siguientes noción:
Para un operador lineal
$T : V \to V$, $A \subset V$, $B=T(A) $,
$Vol(B) = Vol(A)*|det(T)|$
Si $det(T) < 0$, $T$ invierte el espacio. Si no, $T$ no invertir el espacio.
El hecho de que el determinante nos da estos datos extra de invertedness es la razón por la llamada que acaba de volumen sería un poco injusto, por eso lo llamamos firmado volumen.
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