Mostrar que $\int_0^{\pi/3} \big((\sqrt{3}\cos x-\sin x)\sin x\big)^{1/2}\cos x \,dx =\frac{\pi\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}. $

Question

He ejecutar un código FORTRAN y he obtenido pruebas sólidas de que \int_0^{\pi/3 $$} \! \! \big((\sqrt{3}\cos\vartheta-\sin\vartheta) \sin\vartheta\big) ^ \!\cos\vartheta \,d\vartheta {\!1/2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}. $$ De hecho, parece que mi método de Integración numérica (la regla trapezoidal) converge para el valor $\dfrac{\pi\sqrt{3}}{8\sqrt{2}}$, con al menos $12$ dígitos.

¿Cualquier idea cómo probar este resultado analíticamente?

Answer 1

Primero, una identidad: $$\begin{align} (\sqrt{3}\cos(\theta)-\sin(\theta))\sin(\theta) &=2\sin(\tfrac\pi3-\theta)\sin(\theta)\\ &=\cos(\tfrac\pi3-2\theta)-\cos(\tfrac\pi3)\\ &=\tfrac12-2\sin^2(\tfrac\pi6-\theta)\\ &=\tfrac12-2\sin^2(\theta-\tfrac\pi6)\tag{1} \end {Alinee el} $$ ahora, la integral $$\begin{align} &\int_0^{\pi/3} \left((\sqrt{3}\cos(\theta)-\sin(\theta))\sin(\theta)\right)^{1/2}\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{2}\\ &=\int_0^{\pi/3} \left(\tfrac12-2\sin^2(\theta-\tfrac\pi6)\right)^{1/2}\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{3}\\ &=\frac1{\sqrt2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \left(1-4\sin^2(\theta)\right)^{1/2}\cos(\theta+\tfrac\pi6)\,\mathrm{d}\theta\tag{4}\\ &=\frac1{\sqrt2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \left(1-4\sin^2(\theta)\right)^{1/2}\left(\tfrac{\sqrt3}{2}\cos(\theta)-\tfrac12\sin(\theta)\right)\,\mathrm{d}\theta\tag{5}\\ &=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \left(1-4\sin^2(\theta)\right)^{1/2}\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{6}\\ &=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\int_{-\pi/6}^{\pi/6} \left(1-4\sin^2(\theta)\right)^{1/2}\,\mathrm{d}\sin(\theta)\tag{7}\\ &=\frac{\sqrt3}{4\sqrt2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1-\sin^2(\theta)\right)^{1/2}\,\mathrm{d}\sin(\theta)\tag{8}\\ &=\frac{\sqrt3}{4\sqrt2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta\tag{9}\\ &=\frac{\pi\sqrt3}{8\sqrt2}\tag{10} \end {Alinee el} $$ explicación:
$\ \:(3)$: Aplique $(1)$
$\ \:(4)$: sustituir $\theta\mapsto\theta+\frac\pi6$
$\ \:(5)$: coseno de una fórmula de suma
$\ \:(6)$: mezclar la parte impar sobre un dominio simétrico
$\ \:(7)$: $\mathrm{d}\sin(\theta)=\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta$
$\ \:(8)$: sustituir $\sin(\theta)\mapsto\frac12\sin(\theta)$
$\ \:(9)$: $\sqrt{1-\sin^2(\theta)}=\cos(\theta)$ and $\mathrm{d}\sin(\theta)=\cos(\theta)\,\mathrm{d}\theta$
$(10)$: $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2(\theta)\,\mathrm{d}\theta=\frac\pi2$

Answer 2

OK, puede comenzar por señalar que

$$\sqrt{3} \cos{x} - \sin{x} = 2 \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}$$

lo que significa que la integral es

$$ \sqrt{2} \int_0^{\pi/3} dx \, \cos{x} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}} = \sqrt{2} I$$

Usted puede hacer una sustitución de $x \mapsto \frac{\pi}{3}-x$ y ver que

$$I = \sqrt{3} \int_0^{\pi/3} dx \, \sin{x} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}$$

EDITAR

Integrar por partes:

$$\begin{align}I &= \left [\sin{x} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}} \right ]_0^{\pi/3} - \int_0^{\pi/3} dx \, \sin{x} \frac{d}{dx} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}\\ &= -\frac12 \int_0^{\pi/3} dx \, \sin{x} \frac{\cos{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)} - \sin{x} \cos{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}{\sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}}\\ &= -\frac12 I + \frac12 \int_0^{\pi/3} dx \, \sin{x} \sqrt{\frac{\sin{x}}{\sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}} } \cos{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)} \end{align}$$

Esto significa que

$$\begin{align}3 I &= \int_0^{\pi/3} dx \, \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}} \cos{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}\\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \int_0^{\pi/3} dx \, \frac{\cos^2{x}}{\sin{x}} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}} - \frac12 I \end{align}$$

La combinación de nuevo...

$$7 I = \sqrt{3} \int_0^{\pi/3} dx \sqrt{\frac{\sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}{\sin{x}}} - \underbrace{\sqrt{3} \int_0^{\pi/3} dx \, \sin{x} \sqrt{\sin{x} \sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}}_{\text{We know from above this equals } I}$$

Así

FINAL DE EDICIÓN

$$I = \frac{\sqrt{3}}{8} \int_0^{\pi/3} dx \sqrt{\frac{\sin{x}}{\sin{\left ( \frac{\pi}{3}-x\right)}}}$$

Ahora, en una manipulación similar como en la evaluación de esta integral, sub $u = \sin{x}/\sin{(\pi/3-x)}$ y encontrar que la integral se convierte en

$$I = \frac{3}{16} \int_0^{\infty} du \frac{\sqrt{u}}{1+u+u^2}$$

Esta integral es muy sencilla de evaluar a través de residuos mediante, por ejemplo, un ojo de la cerradura de contorno sobre el eje real positivo. Por el teorema de los residuos, el original de la integral es entonces

$$\sqrt{2} I = \frac{3 \sqrt{2}}{16} \frac12 i 2 \pi \left (\frac{e^{i \pi/3}}{i \sqrt{3}} - \frac{e^{i 2 \pi/3}}{i \sqrt{3}} \right ) = \frac{\pi}{8} \sqrt{\frac{3}{2}}$$