La intuición detrás de las sustituciones de Trig en el cálculo

Question

Yo voy por el MIT open curso de cálculo, y en una de las conferencias (19-28min puntos) el profesor utiliza el trigonométricas sustitución de $x = \tan \theta$ para encontrar la integral de $\frac{dx}{x^2 \sqrt{1+x^2}}$.

Su respuesta: $-\csc(\arctan x) + c$, lo que muestra es equivalente a $-\frac{1+x^2}{x} + c$ mediante el dibujo de un triángulo rectángulo en la pizarra.

Yo las matemáticas que hay detrás de cada paso de ella, pero no puedo envolver mi cabeza alrededor de ¿por que la equivalencia de las obras. Usamos una arbitraria $x = \tan \theta$ de sustitución, donde $\theta$ se mueve de manera diferente de x, y la expresión de $-\frac{1+x^2}{x} + c$ por sí mismo no sabe nada acerca de la trigonometría. Pero yo a escribir en Excel para un montón de diferentes valores de x, y, obviamente, que son equivalentes.

Supongo que no estoy muy seguro de lo que mi pregunta es de aquí, pero yo sólo podría utilizar un poco de perspectiva. Parece que la sustitución de CUALQUIER función de x, a continuación, la integración no se debe trabajar, especialmente cuando se cruce en coordenadas polares.

Answer 1

Esto tiene que ver con el hecho de que a pesar de $1/\sqrt{1+x^2}$ es difícil de integrar, $$1/\sqrt{1+\tan^2 t}= 1/\sqrt{1/\cos^2 t}=\cos t$$ Y junto con $dx = dt/\cos^2 t $, conduce a una muy simple integral. En esencia, cualquier sustitución de "obras", en el sentido de que todas conducen al mismo valor numérico, pero sólo algunos de ellos conducen a una integración más fácil.

En cuanto a la idea general detrás de la sustitución, tomar el ejemplo fácil de $t = ax$: $$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^a \frac{f(x/a)}{a} dt $$ ¿Qué está pasando aquí? Si usted piensa que geométricamente, simplemente estira la forma a lo largo de la $x$-eje, por lo que el ancho de ahora es $a$ en lugar de $1$. Si tuviéramos que sólo ingenuamente sustituto $t=ax$, el área sería la $a$ veces más grande! y es por eso que tenemos que corregir este "estiramiento" dividiendo por $dx/dt=a$.

Como usted ha mencionado, en el caso más general de que la extensión no es más uniforme, pero se puede ver en la nueva integral como una suma de manera diferente estirada piezas, cada una con su propio factor de corrección $$dt/dx \neq \rm{const}$$.

A modo de ejemplo, echar un vistazo a la integral sobre el medio círculo $\sqrt{1-x^2}$, con la transformación de $x=\sin(t)$. Usted puede ver cómo la distribuye uniformemente la anchura en $x$ "exprimido" de manera diferente en $t$:

Answer 2

Hay dos cosas importantes a tener en cuenta en este ejemplo:

Una buena manera para tratar de integrar una función con un cuadrado de la raíz de una ecuación cuadrática es hacer un trigonométricas sustitución, ya que la adecuada trigonométricas sustitución de deshacerse de la raíz cuadrada. En particular, cuando usted tiene una raíz cuadrada de la forma $\sqrt{x^2+a^2}$, sustituyendo $x=a\tan\theta$ es una buena cosa para probar, desde entonces, la raíz cuadrada se convierte en $a\sec\theta$.

Siempre que tengas una expresión de la forma $f(g(x))$ donde $f$ es una función trigonométrica y $g$ es una inversa de la función trigonométrica, entonces puede ser simplificado con el uso de un triángulo rectángulo o utilizando identidades trigonométricas.

Answer 3

La base de "la familia" de sustituciones trigonométricas utiliza las definiciones de las funciones trigonométricas para producir una relación de $ \ \frac{x}{a} = \ $ [función trigonométrica] $\theta \ \rightarrow \ x = a \cdot $ [función trigonométrica] $\theta \ $ , $ \ a \ $ siendo una constante. Las piernas y la hipotenusa de un triángulo puede producir tres posibilidades en relación con raíz cuadrada de la suma o diferencia de dos términos cuadrados:

$ \sqrt{x^2 + a^2} \ $ sólo puede ser la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos de longitudes $ \ x \ $$ \ a \ $ . Es la práctica habitual para hacer $ \ x \ $ la pierna opuesta al ángulo de $ \ \theta \ $ $ \ a \ $ el "lado" de la pierna, que se produce en la relación $ \ \tan \theta = \frac{x}{a} \ $ , como se describió anteriormente. El asociado diferencial es, a continuación,$ \ dx = a \sec^2 \theta \ d\theta \ $ ; el radical es el dado por $ \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a} = \sec \theta \ \rightarrow \ \sqrt{x^2 + a^2} = a \sec \theta \ $ .

Las otras medidas implican diferencias de cuadrados de los términos, lo que requiere la radical a la longitud de uno de los del triángulo de las piernas. Hemos

$ \sqrt{x^2 - a^2} \ $ , lo que hace que $ \ x \ $ la hipotenusa; por lo general, el lado adyacente a $ \theta \ $ es elegido como la pierna de la $ \ a \ $ , lo que nos a $ \ \sec \theta = \frac{x}{a} \ \rightarrow \ dx = a \sec \theta \tan \theta \ d\theta \ $ $ \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a} = \tan \theta \ \rightarrow \ \sqrt{x^2 + a^2} = a \tan \theta \ $

o

$ \sqrt{a^2 - x^2} \ $ $ \ a \ $ la hipotenusa; el lado opuesto a $ \theta \ $ es generalmente elegido para ser la pierna de $ \ x \ $ , dando $ \ \sin \theta = \frac{x}{a} \ \rightarrow \ dx = a \cos \theta \ d\theta \ $$ \frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a} = \cos \theta \ \rightarrow \ \sqrt{x^2 + a^2} = a \cos \theta \ $ .

$$\\$$

Volviendo a su integral, la "tangente de sustitución" (con $ \ a \ = 1 \ $ ) produce

$$\int \ \frac{1 \cdot \sec^2 \theta \ d\theta}{1^2 \cdot \tan^2 \theta \ \cdot \ 1 \cdot \sec \theta} \ = \ \int \ \frac{\cos \theta \ d\theta}{ \sin^2 \theta } \ , $$

que ahora puede ser completado a través de un "$v-$subsitution" , $ \ v = \sin \theta \ $ , lo que da el resultado

$$\int \ v^{-2} \ dv \ = \ -v^{-1} \ + \ C \ \rightarrow \ -\frac{1}{\sin \theta} \ + \ C \ \ \text{or} \ \ -\csc \theta \ + \ C \ . $$

[Tal vez esto ya estaba claro para usted, pero usted también parecía estar preguntando acerca de la justificación de la elección de determinadas funciones trigonométricas...]

Refiriéndose a los asociados triángulo rectángulo, el lado opuesto $ \ \theta \ $ $ \ x \ $ y la hipotenusa es $ \sqrt{x^2 + 1^2} \ $ , por lo que la "sustitución hacia atrás" para volver a la función de $ \ x \ $ nos da $ \ -\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \ + \ C \ $ . (Yo creo que se ha omitido un radical en su expresión; un cheque contra WolframAlpha confirma esto...)

Nosotros simplemente construir un triángulo rectángulo con las piernas y la hipotenusa descrito (y por lo tanto $ \ \theta = \arctan \frac{x}{1} \ $ ) y pregunte por la expresión que represente $ \ -\csc \theta \ $ , podríamos obtener este mismo resultado.

Answer 4

Su método se basa en la identidad $$ 1+\bronceado ^{2}\theta =\s ^{2}\theta . $$ Pero hay otra norma de método de integración por sustitución de un irracional la función de el tipo de $f(R(x),\sqrt{a^2+x^{2}})$ donde $R(x)$ es una función racional de $x$. Este método alternativo, que se basa en la identidad

$$1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,$$

utiliza el hiperbólico de sustitución $$ x=\sinh t\Rightarrow dx=\cosh t\,dt,\qquad \text {o}\qquad x=a\sinh t,\quad \text {para un determinado }.$$

Como cuestión de hecho \begin{eqnarray*} \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{1+x^{2}}} &=&\int \frac{\cosh t}{\sinh ^{2}t\cosh t }\,dt,\qquad x=\sinh t \\ &=&\int \frac{dt}{\sinh ^{2}t}=-\frac{\cosh t}{\sinh t}+C \\ &=&-\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+C. \end{eqnarray*}

La cuestión clave es que tanto el trigonométricas y el hiperbólico sustituciones de llevar a la más simple de las integrales, debido a la irracional integrando se convierte en una función racional de la trigonométricas o funciones hiperbólicas.