Funciones continuamente continuas inesperadamente

Question

El otro día en un examen, me dieron el siguiente ejercicio:

Dado$f : [0,1] \to \mathbb{R}$ continuo y tal que$f(0) = 0, f(1) = 1$, deje$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ be$g(x) = [x] + f(x - [x])$. Demuestre que$g$ es uniformemente continuo.

Estoy buscando más ejemplos de este tipo de ejercicio para practicar con (es decir, funciones con continuidad uniforme que no son tan sencillas de probar que son).

Answer 1

Cualquier función continua$f$ de un intervalo cerrado$[a, b]$ a$[a, b]$ es uniformemente continua. Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Heine -Cantor_theorem.

Si$f(a) = a$ y$f(b) = b$ a continuación, se extiende$f$ a una función$\Bbb{R} \to \Bbb{R}$ tomando$f(x) = x$ para$x \not\in [a, b]$ sigue dando una función uniformemente continua.

Si desea práctica para demostrar una continuidad uniforme a partir de los primeros principios, puede crear sus propios ejemplos a partir de esto.