Inicialmente su bola tiene algo de energía ( $2J$ ) y algo de impulso ( $2Ns$ ). Y la pared tiene algo de energía ( $0J$ ) y algo de impulso ( $0Ns$ ). Y hay algo de energía interna, $U=U_0,$ lo que aumenta el calor.
Después, la pelota tiene algo de energía ( $0J$ ) y algo de impulso ( $0Ns$ ). Y la pared tiene algo de energía ( $0J$ ) y algo de impulso ( $2Ns$ ). Y hay algo de energía interna, $U=U_0+2J,$ lo que aumentó el calor.
Obsérvese que la pared tiene cierto impulso pero no energía. ¿Por qué? Porque tiene una masa infinita y $K.E.=p^2/(2m).$ Y tiene una masa infinita porque sólo así puede adquirir el impulso de la pelota sin que ella misma cambie su velocidad.
Así que en el marco móvil todo es diferente.
Inicialmente su bola tiene algo de energía ( $8J$ ) y algo de impulso ( $4Ns$ ). Y la pared tiene algo de energía ( $\infty J$ ) y algo de impulso ( $\infty Ns$ ).
Después, la pelota tiene algo de energía ( $2J$ ) y algo de impulso ( $2Ns$ ). Y la pared tiene algo de energía ( $\infty J$ ) y algo de impulso ( $\infty Ns$ ).
La energía y el momento se conservan en ambos marcos, pero no es útil cuando se tienen objetos infinitamente masivos.
¿Y si le das a la pared una masa finita? Si tienes una bola de masa $m$ y un muro de masa $M$ y el momento inicial es $p$ entonces hay una energía inicial $p^2/(2m).$
Entonces, tras la colisión, la velocidad final es $v_1=p/(m+M).$ Esto significa que la energía cinética de la pelota es $\frac{mp^2}{2(m+M)^2}$ y la energía cinética de la pared es $\frac{Mp^2}{2(m+M)^2}.$ Así, la energía cinética total posterior es $\frac{p^2}{2(m+M)}.$
Así que el cambio en la energía cinética es $\frac{p^2}{2m}-\frac{p^2}{2(m+M)}$ que es igual a $\frac{Mp^2}{2m(m+M)}.$ Esta es la cantidad de energía que se convierte en calor. Y antes de continuar este resultado tiene una gran interpretación física en términos de lo que sucede cuando M va al infinito. Usted tenía una energía inicial de $p^2/(2m)$ y $M/(m+M)$ de ella se convierte en calor, el resto se convierte en energía cinética de la pared.
Ahora veremos la trama que se mueve a una velocidad adicional $u$ con respecto a la pared.
El momento inicial de la pelota es $p+um$ y su energía cinética inicial es $(p+um)^2/(2m).$ Y el muro tiene un impulso inicial de $uM$ y su energía cinética inicial es $(uM)^2/(2M).$ Así que la energía cinética inicial total es $\frac{(p+um)^2}{2m}+\frac{(uM)^2}{2M}$ que es igual a $\frac{M(p+um)^2+m(uM)^2}{2mM}.$
Entonces, tras la colisión, la velocidad final es $v_2=\frac{1}{m+M}(p+um+uM).$ Esto significa que la energía cinética de la pelota es $\frac{m(p+um+uM)^2}{2(m+M)^2}$ y la energía cinética de la pared es $\frac{M(p+um+uM)^2}{2(m+M)^2}.$ Así, la energía cinética total posterior es $\frac{(p+um+uM)^2}{2(m+M)}.$
Así que el cambio en la energía cinética es $\frac{(p+um+uM)^2}{2(m+M)}-\frac{M(p+um)^2+m(uM)^2}{2mM}=$
$$\frac{mM(p+um)^2+2(p+um)(uM)mM+mM(uM)^2-(mM+M^2)(p+um)^2-(m^2+mM)(uM)^2}{2mM(m+M)}=$$
$$\frac{2(p+um)(uM)mM-M^2(p+um)^2-m^2(uM)^2}{2mM(m+M)}=$$
$$\frac{M\left(2(p+um)(um)-(p+um)^2-(um)^2\right)}{2m(m+M)}=$$
$-\frac{Mp^2}{2m(m+M)}.$ Y el signo menos es que accidentalmente he restado la inicial de la final.
