Demostrando la equivalencia lógica$(P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge Q) \vee (\neg P \wedge \neg Q)$

Question

Actualmente estoy trabajando a través de Velleman del libro Cómo demostrarlo y se pide demostrar la siguiente

$(P \leftrightarrow Q) \equiv (P \wedge Q) \vee (\neg P \wedge \neg Q)$

Este es mi trabajo hasta ahora

$(P \to Q) \wedge (Q \to P)$

$(\neg P \vee Q) \wedge (\neg Q \vee P)$ (desde $(P \to Q) \equiv (\neg P \vee Q)$)

$\neg[\neg(\neg P \vee Q) \vee \neg (\neg Q \vee P)]$ (La Ley de Demorgan)

$\neg [(P \wedge \neg Q) \vee (Q \wedge \neg P)]$ (La Ley de Demorgan)

En este punto me siento poco seguro de cómo proceder.

Aquí hay un par de cosas que he probado o considerado hasta ahora:

Pensé que tal vez podría cambiar algunos de los términos en el paso 3 utilizando la ley de asociatividad sin embargo el $\neg$ en el exterior de los dos términos, me lo impide (la construcción de una tabla de verdad para $\neg (\neg P \vee Q) \vee (\neg Q \vee P)$ $\neg (\neg P \vee \neg Q) \vee \neg (P \vee Q)$ a la cordura a los efectos)

Me parece que no puede aplicar la ley de distribución ya que los términos correspondientes son negados.

La aplicación de demorgans la ley a uno de los términos de forma individual en el paso 2 o 3, no parece hacerme muy lejos tampoco.

¿Tal vez me salte algo? Estoy aún en la pista de la derecha? Cualquier ayuda se aprecia

Answer 1

ps

Comenzaré con su trabajo inicial, pero en lugar de emplear a DeMorgan como lo hizo, usaremos la Ley de Distribución (DL), en dos "pasos":

$$ \begin{align} (P \leftrightarrow Q) &\equiv (P \to Q) \wedge (Q \to P) \tag{correct}\\ \\ &\equiv (\color{blue}{\bf \lnot P \lor Q}) \land (\color{red}{\bf \lnot Q \lor P})\tag{correct} \\ \\ &\equiv \Big[\color{blue}{\bf \lnot P} {\land} \color{red}{\bf(\lnot Q \lor P)}\Big] \color{blue}{\lor} \Big[\color{blue}{\bf Q} \land \color{red}{\bf (\lnot Q \lor P)}\Big]\tag{DL}\\ \\ & \equiv \Big[(\color{blue}{\bf \lnot P} \land \color{red}{\bf\lnot Q)} \lor (\color{blue}{\bf\lnot P} \land \color{red}{\bf P})\Big] \lor \Big[(\color{blue}{\bf Q} \land \color{red}{\bf \lnot Q}) \lor (\color{blue}{\bf Q} \land \color{red}{\bf P})\Big]\tag{DL} \\ \\ &\equiv \Big[({\lnot P}\land \lnot Q) \lor \text{False}\Big] \lor \Big[\text{False} \lor (Q \land P)\Big]\tag{why?} \\ \\ &\equiv (P \land Q) \lor (\lnot P \land \lnot Q)\tag{why?}\end {align} $$

Answer 2

Ese es un gran libro. Aprenderás mucho de ella.

Justificar lo siguiente: $$ \begin{align} (\neg P \lor Q) \land (\neg Q \lor P) &\equiv[(\neg P\lor Q) \land \neg Q] \lor [(\neg P\lor Q)\land P] \\ &\equiv [(\neg P \land \neg Q) \lor (Q\land \neg Q)]\lor [(\neg P\land P)\lor (Q\land P)] \\ &\equiv (\neg P\land \neg Q) \lor (Q\land P).\end {align} $$

Answer 3

También puede "invertir" una solución ¿Por qué, a partir de:

$(P \land Q) \lor ( \lnot P \land \lnot Q)$

Puede utilizar las leyes de distributividad para obtener:

ps

y otra vez :

ps

es decir

ps

es decir

ps

Ahora usamos la equivalencia entre$$[(P \land Q) \lor \lnot P] \land [(P \land Q) \lor \lnot Q]$ y$$(P \lor \lnot P) \land (Q \lor \lnot P) \land (P \lor \lnot Q) \land (Q \lor \lnot Q]$, y obtenemos:

ps

es decir

$$T \land (Q \lor \lnot P) \land (P \lor \lnot Q) \land T$.