Estoy tratando de encontrar el centro y el radio de un círculo que pasa por un punto conocido, y que es también tangente a dos líneas conocidas. Las únicas conocidas son:
De eso necesito calcular el centro del círculo (x, y).
Cualquier ayuda sería muy apreciada.
Saludos
Martín.
El centro del círculo sería en la intersección de una línea L y una parábola P.
La línea L viene de ser equidistante de la línea 1 y la línea 2. Si estos se cruzan, tomar las (dos) bisectrices de los ángulos a través de ese punto de intersección de la línea L. Si la línea 1 y la línea 2 son paralelas, tomar la línea L es la línea paralela a la mitad entre ellas.
Para la parábola P tome su punto conocido (xp,yp) que la circunferencia pasa por el foco y decir (línea 1 o línea 2 si es conveniente) como su directriz. Es decir, el centro del círculo será equidistante desde el punto conocido (xp,yp) y el punto de tangencia a la directriz, lo que equivale a afirmar la excentricidad 1 de una parábola.
Tenga en cuenta que a menos que la directriz es paralela al eje de la parábola será en "situación general", lo que significa que la ecuación será más complicada de lo necesario. Es recomendable traducir y girar las coordenadas para que la directriz es paralela a (digamos) el eje x, y de eso se trata, de modo que el foco y la directriz está a la misma distancia desde el origen (de modo que la parábola se pasan por el origen y tienen una forma simple $y = ax^2$).
Agregó: Desde el punto conocido (xp,yp) debe estar en el mismo lado de las líneas 1 y 2 como el círculo y su centro, seleccione la línea L a través de la intersección de las líneas 1 y 2, de modo que también se extiende en la porción del plano.
La siguiente es otra solución que utiliza la "geometría analítica", en un menor nivel de sofisticación técnica. La desventaja es que las ecuaciones aspecto más feo y menos estructurado de lo que podrían ser.
Vamos a utilizar la no muy duro para demostrar que si una recta tiene por ecuación $ax+by+c=0$, entonces la distancia perpendicular desde $(u,v)$ a la línea, se $$\frac{|au+bv+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ Tenga en cuenta que en el numerador tenemos un valor absoluto. Que va a causar algunos dolores de cabeza más adelante.
(Las fórmulas que siga sería más simple si ajustamos la ecuación de cualquier línea de $ax+by+c=0$ dividiendo cada coeficiente por $\sqrt{a^2+b^2}$, pero no vamos a hacer eso.)
Dados dos puntos en cada una de nuestras líneas, podemos encontrar las ecuaciones de las líneas. Supongamos que estas ecuaciones resultan ser $$a_1x+b_1y+c_1=0\qquad\text{and}\qquad a_2x+b_2y+c_2=0.$$
Deje $(u,v)$ ser el centro del círculo, y deje $r$ ser de su radio. Luego de la "distancia a una línea" de la fórmula, tenemos $$\frac{a_1u+b_1v+c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}}=\pm r \qquad\text{y}\qquad \frac{a_2u+b_2v+c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}=\pm r.$$
Por desgracia, que da, en general, $4$ posibles sistemas de dos ecuaciones lineales, que corresponden a la $4$ (en el caso paralelo, $3$) piezas en las que las líneas que dividen el plano. Al final de este post son algunos comentarios acerca de cómo identificar las señales que elegir.
Pero supongamos por ahora que hemos identificado a los dos ecuaciones pertinentes. Los podemos usar para "eliminar" $r$, y obtener una ecuación lineal $ku+lv+m=0$ que vincula $u$$v$.
Desde $(u,v)$ es el centro del círculo, y $r$ es la radio, tenemos $$(u-x_p)^2+(u-y_p)^2=r^2.$$
Utilice una de nuestras expresiones lineales para $r$ a un sustituto para el $r^2$ plazo. Obtenemos una ecuación de segundo grado en $u$$v$. El uso de la ecuación de $ku+lv+m=0$ a eliminar una de las variables. Nos queda una ecuación cuadrática en la otra variable. Resolver.
Tenga en cuenta que en general vamos a obtener dos soluciones, ya que, casi siempre, hay dos círculos de trabajo, un pequeño círculo con $(x_p,y_p)$ en el otro lado del círculo, desde donde las dos líneas de cumplir, y un gran círculo con $(x_p,y_p)$ en el lado cercano de el círculo de donde las dos líneas de cumplir.
Signo de problemas: permanece para ocuparse de cómo elegir el $\pm$ signos en la distancia ecuaciones. Un enfoque que funciona razonablemente bien, en nuestra línea de ecuaciones $a_ix+b_iy+c_i=0$, siempre a elegir el coeficiente de $y$ a ser positivo. (Esto se puede hacer a menos que la línea es vertical.) Entonces si $a_1x_p+b_1y_p+c_1$ es positivo, el uso de $(a_1x_p+b_1y_p+c_1)/\sqrt{a_1^2+b_1^2}=r$, y si es negativa el uso de $-r$. Hacer lo mismo con la otra línea. La razón por la que esto funciona es que si el coeficiente de $y$ es positivo, $a_ix+b_iy+c_i$ es positivo para la renta fija $x$ y de un gran $y$. Así que si $a_ix_p+b_iy_p+c_i$ es positivo, $(x_p,y_p)$ se encuentra "por encima" de la línea, y si $a_ix_p+b_iy_p+c_i$ es negativa, entonces la $(x_p,y_p)$ se encuentra por debajo de la línea.
La primera cosa a tener en cuenta es que si se especifican dos líneas y un punto, entonces hay dos círculos que pasan por el punto y son tangentes a las líneas. Podemos confirmar esto con un poco de matemáticas:
Deje que las líneas se $x + ut$ $x+vt$ donde $x$ es un punto general, $u$ $v$ son vectores unitarios y $t$ es un número real, por lo que las líneas se cruzan en $x$ (en el caso de que las líneas son paralelas pueden ser tratados por separado). A continuación, la línea en la que el centro de un círculo que es tangente a dos líneas puede mentir, está dada por
$$x + \frac{u+v}{2} t$$
También exigimos que el círculo que pasa por el punto de $y$, por lo que necesitamos la $t$ tal que
$$|| x + \frac{u+v}{2}t - y||^2 = r(t)^2$$
donde $r(t)$ es el radio del círculo, dado por $r=t\tan(\theta/2)$ donde $\theta$ se encuentra desde $\cos\theta = u\cdot v$ (dibuje un diagrama y vas a ver donde esta expresión proviene). La expansión de esto, se consigue
$$||x-y||^2 - (u+v)\cdot(x-y)t + \frac{1}{4}||u+v||^2 t^2 = t^2\tan^2(\theta/2)$$
que es una ecuación cuadrática para $t$. La solución la da el que los valores de $t$ correspondiente a los dos círculos.
Una regla solución de brújula sería biseccionar el ángulo entre las dos líneas (suponiendo que se intersectan), dibujar cualquier círculo (con el centro en la bisectriz, y el radio obtenido mediante la proyección del centro ortogonal a una de las dos líneas) tangente a los dos líneas. Lo más probable es que no llegue al punto, pero una simple transformación homothety arreglará eso.
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