Localización y ampliación de módulos

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo y $S$ $R$- álgebra. Suponga que $S$ es finitely genera como una $R$-módulo. Deje $M$ $N$ ser finitely generadas $S$-módulos de e $\mathfrak{m}$ un ideal maximal en $R$.

¿Bajo qué condiciones lo hace de la siguiente igualdad? $$ Ext^{i}_{C}(M,N)_{\mathfrak{m}}=Ext^{i}_{C_{\mathfrak{m}}}(M_{\mathfrak{m}},N_{\mathfrak{m}}) \ \forall yo, $$ where the subscript $_{\mathfrak{m}}$ means the localization with respect to $\mathfrak{m}$.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Se mantiene siempre ya que se puede demostrar que $$ S^{-1} H_i(C) \cong H_i (S^{-1}C)$$

donde $H_i$ indica el $i$-ésimo grupo de homología y $C$ el complejo de cadena que está tomando la homología de.

A ver que toma la homología de los viajes con la toma de fracciones vamos a $$ A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$$ be a sequence of $R$-modules such that $gf = 0$ and $S \subconjunto de R$ es multiplicativo. Pretendemos que $S^{-1}(\mathrm{ker}g / \mathrm{im} f) \cong (S^{-1} \mathrm{ker}g )/ (S^{-1} \mathrm{im} f) \cong (\mathrm{S^{-1} ker}g )/ (\mathrm{S^{-1} im} f)$, de la que nuestra afirmación anterior se siga.

Sabemos que $S^{-1}$ es un functor exacto (Atiyah-Macdonald, p. 39, Prop. 3.3). También, la secuencia siguiente es exacta: $$ 0 \to \mathrm{ker} g \hookrightarrow B \xrightarrow{g} C$$ y, por tanto, la siguiente secuencia también es exacta $$ 0 \to S^{-1}\mathrm{ker} g \hookrightarrow S^{-1}B \xrightarrow{S^{-1}g} S^{-1}C$$

de manera que obtenemos $S^{-1}\mathrm{ker} g \cong \mathrm{ker} S^{-1}g$.

Del mismo modo, $$ A \xrightarrow{f} \mathrm{im} f \to 0$$ is exact so that $$ S^{-1}A \xrightarrow{S^{-1}f} S^{-1} \mathrm{im} f \to 0$$ is also exact and hence $\mathrm{im} S^{-1}f \cong S^{-1} \mathrm{im}f$.

Así que tenemos $$ (S^{-1} \mathrm{ker}g )/ (S^{-1}\mathrm{im}f) \cong (\mathrm{ker} S^{-1}g ) / (\mathrm{im} S^{-1} f) $$

Para terminar la prueba de que el uso que $$ 0 \to \mathrm{im}f \to \mathrm{ker}g \to (\mathrm{ker}g) / ( \mathrm{im}f) \to 0$$ es exacta por lo que $$ 0 \to S^{-1}\mathrm{im}f \to S^{-1} \mathrm{ker}g \to S^{-1}( (\mathrm{ker}g) / ( \mathrm{im}f) ) \to 0$$ es exacta y, por tanto, $$ S^{-1}( (\mathrm{ker}g) / ( \mathrm{im}f) ) \cong (S^{-1} \mathrm{ker}g) / (S^{-1}\mathrm{im}f) \cong (\mathrm{ker} S^{-1} g) / (\mathrm{im}S^{-1} f)$$

lo que demuestra la demanda.

Answer 2

Según Weibel el siguiente es verdadero (Prop 3.3.10):

Deje $A$ ser un finitely módulo generado más de un conmutativa Noetherian anillo de $R$. A continuación, para cada conjunto multiplicativo $S$, todos los módulos de $B$ y todos los $n$, $$S^{-1} \text{Ext}_R^n(A,B) \simeq \text{Ext}^n_{S^{-1}R}(S^{-1}A,S^{-1}B)$$

Noetherian-ness es importante aquí, para cada finitely módulo generado más de un Noetherian anillo es finitely presentado. La prueba, a continuación, sigue por el Lema 3.3.8:

Si $A$ es finitely presenta como una $R$-módulo a continuación, para cada central multiplicativo set$S$$R$, hay un isomorfismo $$S^{-1} \text{Hom}_R(A,B) \simeq \text{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}A,S^{-1}B)$$