Si $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge, entonces también lo hace $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\frac{n}{n+1}}$

Question

Dada una secuencia positiva $(a_n)$ . Demostrar que si $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ converge, entonces también lo hace $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n^{\frac{n}{n+1}}$ .

Traté de usar la prueba de raíz, y me quedé atascado con el caso $\lim \sup \sqrt[n]{a_n}=1$ . Tal vez necesitemos algún truco aquí.

Muchas gracias.

Answer 1

Sea $b_n=a_n+e^{-n}$ . La elección específica $e^{-n}$ aquí no es demasiado importante, sólo queremos asegurarnos de que el $b_n$ convergen, pero no demasiado rápido. Ahora $\sum b_n$ converge y $b_n^{n/(n+1)}>a_n^{n/(n+1)}$ por lo que si $\sum b_n^{n/(n+1)}$ converge, entonces también lo hace $\sum a_n^{n/(n+1)}$ .

Ahora podemos utilizar el prueba de comparación de límites en su forma unidireccional:

Si $(a_n),(b_n)$ son secuencias positivas y $\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}>0$ entonces si $(a_n)$ converge también $(b_n)$ .

$$\liminf_{n\to\infty}\frac{b_n}{b_n^{\frac n{n+1}}}=\liminf_{n\to\infty}b_n^{\frac 1{n+1}},$$ por lo que tomar un $\log$ queremos demostrar que $\liminf_{n\to\infty}\frac{\log(b_n)}{n+1}>-\infty.$ Pero

$$b_n>e^{-n}\implies \liminf_{n\to\infty}\frac{\log(b_n)}{n+1}>\liminf_{n\to\infty}\frac{-n}{n+1}=-1.$$