¿Vida media incluso significa algo?

Question

Así que hoy yo estaba tratando de obtener una expresión para el número de átomos radiactivos que queda después de un tiempo de $t$ si empecé con $N_0$ átomos en total.

Al principio traté de suponer que tenían un promedio de vida y de trabajo de allí, pero mi amigo dejó caer una pista y me pareció mucho más fácil asumir que cada átomo tenía un específico oportunidad en un pequeño elemento de tiempo $dt$ a las caries.

Después de algún tipo de manipulación, llegué a un decaimiento exponencial de la fórmula, lo cual fue genial. Sin embargo, me puse a pensar sobre el concepto de 'vida media'. (También me las arreglé para encontrar una expresión para el tiempo de vida media en relación a la posibilidad de que un solo átomo se desintegran en un tiempo diferencial elemento).

Si yo tuviera un grupo de átomos que tienen un promedio de vida de 5 segundos, 5 segundos después de que haya transcurrido, ¿qué es la "vida media" de los restantes átomos?

No creo que arbitrariamente puede elegir alguna referencia de tiempo para comenzar marcando en los átomos " tiempo restante, ¿eso significa que en cualquier punto del tiempo que su 'vida media' o tiempo de vida esperado es siempre una constante, y en realidad nunca disminuye a medida que pasa el tiempo?

Answer 1

Enhorabuena por la derivada de la exponencial de ley para sí mismo, uno aprende mucho acerca de la ciencia de trabajo como este. Ahora a tu última pregunta:

Si yo tuviera un grupo de átomos que tienen un promedio de vida de 5 segundos, 5 segundos después de que haya transcurrido, ¿qué es la "vida media" de los restantes átomos? No creo que arbitrariamente puede elegir alguna referencia de tiempo para comenzar marcando en los átomos " tiempo restante, ¿eso significa que en cualquier punto del tiempo que su 'vida media' o tiempo de vida esperado es siempre una constante, y en realidad nunca disminuye a medida que pasa el tiempo?

Sí, de hecho, el promedio de vida es constante. Y la distribución exponencial que han derivado es el único de toda la vida de distribución con esta propiedad. Otra forma de decir esto es que la descomposición de las partículas es memoryless: no codifica su "edad": no hay nada en el interior de la partícula que dice "he de vivir un largo tiempo, ahora es tiempo de morir". Sin embargo, otra toma en este - como en un discreto lugar de distribución de probabilidad continua - es la distribución geométrica de la cantidad de tiros antes de que una moneda se convierte cabezas, y la observación de que una moneda no tiene memoria de que los contadores de la famosa falacia del apostador.

Para entender esta singularidad, codificamos la memorylessness condición en que la probabilidad de base de la ley

$$p(A\cap B) = p(A) \, p(B|A)$$

Supongamos que después de un tiempo $\delta$ se observa que sus partículas no ha decaído (evento $A$). Si $f(t)$ es el propability distribución de tiempos de vida, entonces la probabilidad de que la partícula ha durado al menos este tiempo, es decir, la probabilidad de que no decae en el tiempo de intervalo de $[0,\,\delta]$ es:

$$p(A) = 1-\int_0^\delta f(u)du$$

El a priori de la función de distribución de probabilidad de que la partícula va a durar hasta que el tiempo de $t+\delta$ y luego del decaimiento en el intervalo de tiempo $dt$ ( $B$ ) es

$$p(B\cap A) = f(t+\delta) dt$$.

Este es de los eventos de $B$ $A$ observado juntos, que es el mismo que el viejo y simple $B$ desde la partícula no puede durar unti tiempo $t + \delta$ sin vivir a$\delta$! Por lo tanto, la probabilidad condicional de la función de densidad es

$$p(B|A) = \frac{f(t+\delta)\,dt}{1-\int_0^\delta f(u)du}$$

Pero este debe ser el mismo que el incondicional de densidad de probabilidad de que la partícula dura más tiempo $t$ medido de cualquier tiempo, por la asunción de memorylessness. Por lo tanto debemos tener:

$$\left(1 - \int_0^\delta f(u)du\right)\,f(t) = f(t+\delta),\;\forall \delta>0$$

Dejando $\delta\rightarrow 0$, obtenemos la ecuación diferencial de $f^\prime(t) = - f(0) f(t)$, cuya única solución es $f(t) = \frac{1}{\tau}\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)$. Usted puede fácilmente comprobar que esta función la cumple el general funcional de la ecuación de $\left(1 - \int_0^\delta f(u)du\right)\,f(t) = f(t+\delta)$ cualquier $\delta > 0$.

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Como Akhmeteli la respuesta , dice, la verdadera memorylessness es en realidad incompatible con simples modelos cuántica. Por ejemplo, se puede derivar la exponencial de la vida para un emocionado fluoróforo a partir de un modelo simple de un solitario emocionado dos estado fluoróforo igualmente, junto a todos los modos del campo electromagnético. El problema es que la derivación se basa en la aproximación de una integral sobre energía positiva campo modos por una integral sobre todas las energías, tanto positivos como negativos. Esto, por supuesto, es no físico, pero una excelente aproximación ya que sólo los modos de cerca a los dos estado energético del átomo brecha se entusiasma: el fluoróforo "intenta" para excitar todos modos igual, pero la interferencia destructiva impide significativo de acoplamiento de modos muy diferentes de energía que la diferencia entre las energías de los estados en cualquiera de los lados de la transición.

Me muestran cómo este análisis se realiza en esta respuesta aquí y aquí.

Anchuras de línea son en su mayoría muy estrecha en comparación con las frecuencias de los fotones de que se trate, por lo que me parece sorprendente y maravilloso que Ahkmeteli cita un papel dando evidencia experimental de la no constantes de por vida.

Answer 2

Khalfin mostró hace unos 60 años que estrictamente decaimiento exponencial es en realidad incompatible con la teoría cuántica y no debe ser pequeñas desviaciones tanto para los muy pequeños y los tiempos largos. Ver los detalles y referencias, dicen, en la Naturaleza vol. 335, p. 298 (22 de septiembre de 1988). No parece ser la confirmación experimental así: http://dro.dur.ac.uk/4234/1/4234.pdf (PRL 96, 163601, 2006). Así que, estrictamente hablando, la vida no puede ser constante.

EDITAR (04/28/2015): la prueba se puede encontrar, por ejemplo, en http://www.ias.ac.in/pramana/fm2001/QT4.pdf (Pramana - revista de física, vol 56, pp 169-178). La prueba utiliza el hecho de que el espectro del Hamiltoniano está delimitada desde abajo y desde la .Paley-Wiener teorema de

Answer 3

¿Qué es el "tiempo de vida media"? Usted toma el promedio de los tiempos de vida de muchos átomos idénticos, es decir,

$$ T_{\text{avg}} = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} T_n $$

Esta es una variable aleatoria que depende de su distribución de $T_n$, que está en el caso de la función exponencial: $p(T_n = t) = \alpha e^{-\alpha t}$ si $t\ge 0$ y cero en caso contrario. Sabiendo esto, se puede calcular la distribución del "tiempo de vida media" como

$$ p(T_{\text{avg}}) = \int_0^\infty dt_1 \dots \int_0^\infty dt_N\ \delta\!\a la izquierda(t - \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} t_n \right)\ \prod_{n=1}^{N}p(T_n = t_n) $$ $$ = N\int_0^\infty dt_2 \dots \int_0^\infty dt_N\ p\!\a la izquierda(T_1 = Nt-\sum_{n=2}^{N}t_n\right)\ \prod_{n=2}^{N}p(T_n = t_n) $$ Aquí, el argumento de $p(T_1 =\dots)$ puede llegar a ser menor que cero, por lo que debe clip de la parte superior de la integral de los límites. $$ \dots = N\int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n}dt_N\ \alfa e^{-\alpha (Nt - \sum_{n=2}^{N} t_n)}\ \prod_{n=2}^{N} \alpha e^{-\alpha t_n} $$ $$ =N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n}dt_N\ 1 $$ $$ =N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-2}t_n}dt_{N-1}\ \izquierdo(Nt-\sum_{n=2}^{N-1}t_n\right) $$ $$ =N\alpha^N e^{-\alpha Nt} \int_0^{Nt}dt_2 \int_0^{Nt-t_2}dt_3 \dots \int_0^{Nt-\sum_{n=2}^{N-3}t_n}dt_{N-2}\ \frac{1}{2}\left(Nt-\sum_{n=2}^{N-2}t_n\right)^2 $$ $$ \dots $$ $$ =\frac{N}{(N-1)!}\alpha^N (Nt)^{N-1} e^{-\alpha Nt} $$

Por muy grande $N$, esto se convierte en una muy bruscamente alcanzó su punto máximo de la función, y el pico es donde la derivada de w.r.t. $t$ se convierte en cero:

$$ T_{\text{avg}} = \frac{1}{\alpha} \frac{N}{N-1} \approx \frac{1}{\alpha} $$

Este es el tiempo de vida media de sus isótopos. Tenga en cuenta, que este es igual al tiempo de vida esperado de un solo isótopo:

$$ t_{\text{espera}} = \int_0^\infty dt\ t\cdot p(T_1 = t) = \int_0^\infty dt\ t\alpha e^{-\alpha t} = \frac{1}{\alpha} $$

que es probablemente lo que usted entiende por que. El tiempo de vida esperado de un átomo no cambia con el tiempo. Imagina que esperar un tiempo de vida de 1 minuto cuando se empiezan a observar un solo átomo. Entonces, cuando la mitad de un minuto ha pasado, lo que más tiempo de vida se puede esperar? Todavía un minuto completo. Esto puede parecer extraño, pero comparar con otros juegos de azar.

Por ejemplo, si usted lanza una moneda y sale cara, usted no debe esperar que la moneda de llegar colas de la vuelta siguiente. Usted ni siquiera debería pensar un poco más probable. La segunda tirada tiene exactamente las mismas posibilidades que el primero.

Lo mismo con los átomos. No importa cuando usted comienza a observar el átomo, tiene siempre el mismo tiempo de vida esperado, $\frac{1}{\alpha}$, y ni siquiera cambiando a medida que la observa.

Answer 4

Tienes razon, el tiempo de vida media sigue siendo el mismo. En el contexto de tu ejemplo, si usted tiene $N$ núcleos en cualquier punto arbitrario de tiempo $t_0$ y si $T$ es la vida media del núcleo en tiempo $t_0 + T$, la mitad de ellos habría decaído.

Que $T$ es independiente de cuando empezaste a mantener el tiempo es la observación fundamental en la fabricación de carbón que data de una herramienta confiable para estimar la edad de fósiles.