Cómo solucionar esa oda

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación diferencial: $$ x \ left (\ frac {dx} {dy} \ derecha) ^ 2 y \ frac {dx} {dy} = x $$ Intenté reescribirlo de esta manera : $$ y (x) = x \ frac {dy} {dx} f \ izquierda (\ frac {dy} {dx} \ derecha) $$

Answer 1

$v = \frac{dx}{dy}$ Entonces tenemos$xv^2+yv=x$ esto da$v^2+\frac{y}{x}v-1=0$ resuelve esta ecuación cuadrática para$v$ para obtener:$$ v = \frac{-y/x \pm \sqrt{y^2/x^2+4}}{2} $ $ Supongamos$$ \frac{dx}{dy} = \frac{-y/x \pm \sqrt{y^2/x^2+4}}{2} $ Entonces$z = y/x$ y$xz=y$,$z\frac{dx}{dy}+x\frac{dz}{dy}=1$ $ Así,$$ \frac{y}{z^2}\frac{dz}{dy} = \frac{-z \pm \sqrt{z^2+4}}{2} $ $ Tal vez esto ayude.

Answer 2

\begin{align} x\left(\frac{dx}{dy}\right)^2 + y\frac{dx}{dy} - x & = 0 \\ \frac{dx}{dy} & = \frac{1}{2x}\left(-y \pm \sqrt{y^2 + 4x^2}\right). \end{align} Este es ahora un homogénea de primer orden de la educación a distancia, es decir, $\frac{dx}{dy} = F\left(\frac yx\right)$ donde $F(u) = \frac 12\left(-u \pm \sqrt{u^2 + 4}\right)$. Esto puede ser resuelto mediante la sustitución de $u = \frac yx$.

Voy a llevar a cabo el detalle a continuación:

A partir de la sustitución de $y = xu$, por lo que \begin{align} \frac{dx}{d(ux)} & = F(u) \\ \frac{udx + xdu}{dx} & = \frac 1{F(u)} \\ u + x\frac{du}{dx} & = \frac 1{F(u)} \\ \frac{1}{\frac{1}{F(u)} - u}du & = \frac 1xdx \\ \therefore x & = c\exp\left(\int^{y/x} \frac{1}{\frac 1{F(u)} - u}du\right) \end{align} La integral indefinida de la realidad tiene una forma cerrada en términos de funciones fundamentales: positivo, negativo elección.

Answer 3

El comando de Maple $$dsolve(x(y)*(D(x))(y)^2+y*(D(x))(y) = x(y)) $$ produce dos respuestas $$x \left y \right) =-y{\frac {1}{\sqrt {2\,{\it LambertW} \left( -1/2 \,{\frac {y{{\rm e}^{-1/2}}}{{\it \_C1}}} \right) +1}}} \left( \left( 2\,{\it LambertW} \left( -1/2\,{\frac {y{{\rm e}^{-1/2}}}{{ \\_C1}}} \right) +1 \right) ^{-1}-1 \right) ^{-1} $$ and $$x \left y \right) =y{\frac {1}{\sqrt {2\,{\it LambertW} \left( -1/2\, {\frac {y{{\rm e}^{-1/2}}}{{\it \_C1}}} \right) +1}}} \left( \left( 2 \,{\it LambertW} \left( -1/2\,{\frac {y{{\rm e}^{-1/2}}}{{\it \_C1}}} \right) +1 \right) ^{-1}-1 \right) ^{-1} .$$