Demuestra esta$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\le ab+bc+ac$

Question

Sea$a$,$b$ y$c$ números no negativos tales que$$a^2+b^2+c^2=a+b+c.$ $ Demuestre que$$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\le ab+bc+ac.$ $

Intenté la técnica del uvw y BW y más pero sin cierto éxito. ¿Puedo utilizar CS lo soluciono?

Answer 1

La cuadratura de la igualdad indica que la desigualdad es equivalente a$$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2.$ $ Esto viene de Jensen aplicado a la función convexa (definida en los reales positivos)$r\mapsto r^3$, en los puntos$a,b,c$ y con pesos% Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 2

tenemos que demostrar que $$(a+b+c)^2((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)\le (ab+bc+ca)(a^2+b^2+c^2)^2$$ multiplicando esto obtenemos: $${a}^{5}b+{a}^{5}c-{a}^{4}{b}^{2}+{a}^{4}ac-{a}^{4}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{ 4}-3\,{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{c}^{4}+{b}^{5}+{b}^{4}c+ab{c}^{4 } +{c}^{5}+{b}^{5}c{b}^{4}{c}^{2}-{b}^{2}{c}^{4}+b{c}^{5} \geq 0$$ con $$b=a+u,c=a+u+v$ $ , obtenemos $$\left( 9\,{u}^{2}+9\,uv+9\,{v}^{2} \right) {a}^{4}+ \left( 20\,{u}^{3 }+30\,{u}^{2}v+42\,u{v}^{2}+16\,{v}^{3} \right) {a}^{3}+ \left( 15\,{u }^{4}+30\,{u}^{3}v+57\,{u}^{2}{v}^{2}+42\,u{v}^{3}+9\,{v}^{4} \right) {a}^{2}+ \left( 4\,{u}^{5}+10\,{u}^{4}v+28\,{u}^{3}{v}^{2}+32\,{u}^{2} {v}^{3}+14\,u{v}^{4}+2\,{v}^{5} \right)+3\,{u}^{4}{v}^{2}+6\,{u}^{3} {v}^{3}+4\,{u}^{2}{v}^{4}+u{v}^{5} \geq 0$$, que es cierto.

Answer 3

Creo $uvw$ ayuda aquí.

La homogeneización da:

$$(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)(a+b+c)^2\leq(ab+ac+bc)(a^2+b^2+c^2)^2.$$ Por lo tanto, la condición es $u=3u^2-2v^2$ y no depende de la $w^3$.

Por otro lado, tenemos que demostrar que el $$3v^4-2uw^3\leq v^2,$$ que es una desigualdad lineal de $w^3$, que dice que

queda por demostrar que la desigualdad por un valor extremal de $w^3$,

lo que sucede en los siguientes casos.

1. $w^3=0$.

Desde nuestra nueva desigualdad es homogénea, podemos suponer $c=0$$b=1$, lo que da $$a(a^2-a+1)(a-1)^2\geq0;$$

2. $b=c=1$, lo que da $$(a-1)^2(2a^2+3a+4)\geq0.$$ Hecho!

Pero podemos probar esto de otra manera:

tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}(a^4+2a^2b^2)\sum_{cyc}ab\geq\sum_{cyc}a^2b^2\sum_{cyc}(a^2+2bc)$$ o $$\sum_{cyc}(a^5b+a^5c-a^4b^2-a^4c^2+a^4bc-a^2b^2c^2)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}ab(a^2-ab+b^2)(a-b)^2+\frac{1}{2}abc(a+b+c)\sum_{cyc}(a-b)^2\geq0$$ y hemos terminado!

Answer 4

Otra forma:$$\sum_{cyc}(ab-a^2b^2)=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(2ab-2a^2b^2)=$ $$$=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a^2+2ab-a^4-2a^2b^2+a^4-a^2)=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a^4-a^2)=$ $$$=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a^4-a^2-2(a^2-a))=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(a^4-3a^2+2a)=\frac{1}{2}\sum_{cyc}a(a+2)(a-1)^2\geq0.$ $ ¡Hecho!