Ejercicio fácil (pista) Análisis Real

Question

He sido atrapado por un tiempo con este problema. Supongo que es algo muy fácil, pero no puedo averiguar sin embargo, el enfoque correcto. Yo había apreciado realmente no es la solución completa sólo algunas sugerencias (las integrales no se pueden utilizar).

Si $f$ es dos veces derivable la función de con $f(0)=0$$f(1)=1$, y $f'(0)=f'(1)=0$, $|f''(x)|\ge 4$ algunos $x\in[0,1]$.

Sketch-prueba: vamos a demostrar que hay un $x\in[0,1/2]$ tal que $f''(x)\ge 4$ o de lo $f''(x)\le-4$ algunos $x\in [1/2,1]$. Supongamos que al contrario que para todos los $x\in[0,1/2]$ tenemos $f''(x)< 4$, y para todos los $x\in [1/2,1]$ tenemos $f''(x)>-4$.

1) Vamos a $y\in (0,1/2]$, a continuación, por el MVT tenemos

\begin{align}f'(y)=f'(y)-f'(0)=f''(\xi)(y-0)<4y\\ f'(y)<4y \end{align}

Desde $\xi\in (0,y)\subset [0,1/2]$. Por tanto, para $y\in [0,1/2]$ por lo tanto tenemos a $f'(y)\le4y$. Ahora aplicamos el MVT de nuevo. Deje $x\in (0,1/2]$ entonces tenemos:

\begin{align}f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0)<4\xi x<4x^2\\ f(x)<4x^2\end{align} Desde $\xi\in (0,x)$. Por lo tanto $f(1/2)<1$

2) Ahora para $y\in [1/2,1]$, el uso de la MVT tenemos

\begin{align} f'(1)-f'(y)=f''(\xi)(1-y)\ge -4(1-y)\\ f'(y)\le 4(1-y)\end{align}

Así, por $x\in [1/2,1]$

\begin{align} f(1)-f(x)=f'(\xi)(1-x)\le 4(1-\xi)(1-x)\\ 1-4(1-\xi)(1-x)\le f(x)\\ 1+2(\xi-1)\le f(1/2) \end{align}

Desde $\xi \in [1/2,1]$

Y en este punto es donde estoy atascado. Creo que tal vez el ejercicio se debe decir $|f''(x)|\ge 2$. De esa manera, al menos, tenemos una muy hermosa y simétrica forma de hacerlo. De todos modos gracias por la ayuda :)

Answer 1

He aquí una idea que intenta falda utilizando integrales. Tal vez va a ser útil. Definir $g$$[0,1/2]$$g(x)=2x^2$. Observar que $g(0)=g'(0)=0$, $g''(x)=4$ para todos los $x$, e $g(1/2)=1/2$. Ver la función $g-f$ y sus derivados, y después de que usted ha hecho una conclusión acerca de $f$ $[0,1/2]$ repetir el mismo tipo de cosa en $[1/2,1]$. Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta.

Si quieres seguir tratando de encontrar una prueba de uso de MVT (no tuve éxito allí), una cosa que podría hacer es intentar nota que $f$, $f'$, y $f''$ son todas continuas $[0,1]$, una cerrada y delimitada intervalo, de modo de alcanzar los valores máximo y mínimo. Creo que este es el más útil para $f'$, ya que al comparar el valor máximo de $f'$ y los valores de $f'$ toma en los extremos que puede hacer una declaración acerca de $f''$.

Answer 2

Puesto que f"(x) es continua en un intervalo cerrado, vamos a suponer que por la manera de argumentar de una contradicción que | f"(x) | <= 4 e para algunos positivos e.

Ahora se aplica la integral de la forma del teorema de Taylor en a=0 para obtener:

f(x) = f(0) + f'(0) x + integral de 0 a x de t f"(t) dt = 0 + 0 + integral de 0 a x de t f"(t) dt <= (4-e) * la integral de 0 a x de t dt = (4-e) x^2 / 2

En particular, obtenemos que f(1/2) <= (4-e)/8 < 1/2.

Ahora aplicar Taylor teorema de nuevo en a=1 para obtener f(x) = f(1) + f'(1) (x-1) + integral de 1 a x (t-1) f"(t) dt. = 1 + 0 + integral de x a 1 de (1-t) f"(t) dt >= 1 - (4-e) (1-x)^2 /2.

En particular, f(1/2) >= 1 - (4-e)/8 > 1/2.

Esta contradicción demuestra el teorema.