¿Es posible detectar periodicidad de una función analítica de sus coeficientes de la serie de Taylor en un punto?

Question

Dada la serie de Taylor $\sum a_k (x - x_0)^k$ de una analítica de la función, es posible determinar si la función es periódica, más o menos directamente de los coeficientes $a_0, a_1, \ldots$ de la serie (lo que es equivalente, los derivados de la $f'(x_0), f''(x_0), \ldots$$f$$x_0$)?

(Por simplicidad, estoy feliz de restringir si es necesario, para el caso de que la serie converge en todos los de $\mathbb{R}$. Nota demasiado que no es una verdadera pérdida de generalidad a tomar $x_0 = 0$.)

(Esto fue motivado por esta cuestión.)

Answer 1

Sólo para resumir como una respuesta a la línea de pensamiento en los comentarios: determinar si una función es periódica, es necesario considerar un número infinito de sus coeficientes, ya que cualquier finito serie de Taylor puede ser el segmento inicial de una función periódica, y de hecho una función periódica con período arbitrario. Así que no hay ningún algoritmo de decisión para la pregunta de si la serie de Taylor es proporcionado por oracle dando uno de los coeficientes en un momento.

Por otro lado, si usted puede evaluar $f(q)$ a cada número racional, usted puede encontrar todos los miembros de la discreta contables conjunto de ceros de $f$$\mathbb{R}$; a continuación, se prueba si $f(x-z) - f(x) \equiv 0$ al cero $z$ le da una infinitary método de depender únicamente de la mayoría, obviamente, natural de operaciones en la serie total $(a_n)$ y hacer un conteo de número, (como un ordinal, $2 \cdot \omega$) de decisiones, para llegar a una respuesta.

Es evidente que esto no se puede contar como "razonablemente directa", porque eso sería profundamente interesante respuesta a una pregunta interesante. Así que, para hacer la pregunta precisa que habría que enmarcarla en un camino que se encuentra entre estos dos casos. Lo que debería ser, no tengo idea.

Answer 2

Lo siento, esto probablemente debería ser un comentario, pero mi reputación es demasiado bajo, así que voy a intentar y convertirlo en una respuesta.

El polinomio de la multiplicación es la convolución en el dominio de Fourier. La linealidad de la transformada de fourier, junto con el hecho y que un polinomio es una combinación lineal de monomials nos da una buena herramienta para atacar a este. Por supuesto, resulta que ya han hecho otros rápidos algoritmos para esto.

Un recursiva del algoritmo de la FFT para polinomios se explica aquí http://web.cecs.pdx.edu/~maier/cs584/Conferencias/lect07b-11-MG.pdf

A continuación, para una función periódica de todos los valores de la transformada de fourier, excepto en la posición $k\omega$ para algunos entero $k$ debe ser muy pequeña en algunos adecuado de la norma. Podemos probar esta haciendo un resumen de las normas de todos los coeficientes, y su comparación con las sumas de los equidistantes subconjuntos $k\omega$ para diferentes números enteros de k.

Supongo que esto no califica como un método "directo", pero es la mejor que se me ocurre. La FFT es rápido y la prueba para la igualdad de espaciamiento debe ser también.