Significado exacto de "no toda matriz es un tensor".

Question

Recientemente he empezado a leer sobre los tensores, y estoy tratando de entender el segundo fin de variedad en el contexto de la euclídea $\mathbb{R}^n$ con base ortonormales {$e_1, e_2,\ldots, e_n$}. Esto parece como un simple punto de partida, que deja a temas como la covarianza y contravarianza para otro día. Mi pregunta es w.r.t. en este contexto limitado.

Respecto de la relación entre n$\times n$ matrices y tensores de segundo orden, he leído que "no toda matriz es un tensor" y estoy tratando de encontrar una declaración concisa de los cuales n$\times n$ matrices son tensores de segundo orden. Es cierto que cada n$\times n$ matriz $M$ es un tensor si y sólo si:

$$M_{ij}=S_{ij}e_i\otimes e_j$$ and $S_{ij} \in \mathbb{R}$

Si "sí", es cierto que no hay otras restricciones en $S$ a fin de $M$ que se considera un tensor?

Answer 1

En física, el término "vector" y, más generalmente, "tensor", se refiere a un objeto que se transforma como un vector/tensor.

Primero de todo, una matriz es sólo una representación de un tensor en un cierto marco de coordenadas, el tensor de por sí, es una noción abstracta, independiente de la notación y la elección de coordenadas. En segundo lugar, un tensor en la física es un objeto, que, cuando se expresa en otro cuadro de coordenadas, toma la forma

$$T'_{ij}=P_{ik}P_{jl}T_{kl}$$ si la matriz de $P$ toma el original marco para la imprimación (') marco.

En este sentido general rectangulares matrices no son tensores, ni son las matrices que representan sólo algunos de los conjuntos de ecuaciones lineales en lugar de los objetos que están vinculados a la geometría del espacio físico.

Los tensores son muy comúnmente simétrica (Hermitian).

Por otra parte, estamos hablando aquí de 2º rango de tensores. Un tensor puede ser de cualquier dimensión (por ejemplo, tensor de puesto 1 es un vector). Por ejemplo, la fuerza es un vector, sino un conjunto de tres variables no es, en el contexto de la física, se llama vector. Incluso el campo magnético no es estrictamente hablando un vector, cuando usted vaya a la relativista del espacio-tiempo de la representación, porque no transforma como uno (además, su paridad es mal bajo transformaciones de coordenadas que invertir el espacio, por lo que incluso clásicamente, se llama un pseudo vector).

Este es un de los físicos de interpretación de la pregunta ¿qué es un tensor y lo que no lo es.

Si hay alguna duda, me pueden elaborar más.

Answer 2

Creo que la relación entre matrices y tensores mal. El tensor de la $e_i\otimes e_j$ corresponde directamente a una matriz (en lugar de a una entrada de una matriz), específicamente la matriz $e_ie_j^T$. También estoy asumiendo que por tensor que significa primaria producto tensor, es decir, un producto tensor de la forma $v\otimes w$ algunos $v,w\in\mathbb R^n$.

En general, $v\otimes w$ corresponde a la matriz de $vw^T$. Es fácil ver que esta matriz tiene rango $1$. De hecho, lo contrario también es cierto: si $M$ rango $1$ $M=vw^T$ para algunos vectores $v,w\in\mathbb R^n$. Para ver esto, vamos a $v$ $\mathrm{im}(M)$ $w$ ser una base para $\ker(M)^\perp$. A continuación, $vw^T=M$ hasta un factor constante.