¿Cuando $\|T(b)\|\le M\|b\|$ para cada vector de una base implica que $T$ está delimitado?

Question

Un operador lineal $T\colon X\to Y$ entre lineal de la normativa de los espacios es acotado si existe una constante $M$ tal que $$\|Tx\| \le M\|x\|\tag{*}$$ holds for every $x\in X$. Are there some situations when it is sufficient to verify that this condition is true for elements from some Hamel basis $B$?

Es allí caracterización de la normativa de los espacios aquí la validez de $(*)$ para algunos Hamel implica la acotamiento? Hay al menos algunas condiciones suficientes? Es la situación más fácil en espacios de Banach? Podemos decir algo, al menos para $Y=\mathbb R, \mathbb C$?

O hay quizás no pares de $(X,B)$ tal que acotamiento en $B$ implica acotamiento en $X$?

Mis sentimientos acerca de esta cuestión es que esto podría ser de alguna manera relacionados con la "forma" de la unidad de la bola. Pero supongo que la convexidad de la unidad de la bola no es probablemente suficiente.

---

Básicamente, esto surgió a partir de un lugar de la primaria a la discusión acerca de un operador lineal definido en $X=c_{00}$. (El espacio de secuencias que tienen sólo un número finito distinto de cero términos con el sup norma. En este se puede escribir una explícita base $e^{(i)}=(0,0,\dots,0,1,0,\dots)$ y en la conversación que tiene la impresión de que la otra persona piensa que basta que se compruebe $(*)$ de estos vectores. Me corrigió y dijo que tenemos que comprobar esto para cada una de las $x\in X$ - o, al menos, para todos los elementos de la unidad de la bola - si seguimos la definición que hemos aprendido. Pero me di cuenta de que la cuestión de si este trabajo al menos a veces puede ser muy complicado.)

He buscado un poco a ver si se pregunta similar ha sido publicado aquí en el pasado. Sólo he encontrado esta pregunta, que se ocupa de la base ortonormales en lugar de Hamel: Operador Lineal acotado sobre una base.

Answer 1

Creo que para el caso $T:\ell^2\to\mathbb R$ esto no es posible.

En primer lugar, elegimos un % de base de Hamel $\{e_n : n\in \mathbb N\}\cup \{f_i : i\in I\}$, donde $e_n$ son los vectores de la unidad.

Ahora podemos definir $T$ por $$ T e_n = 1 \\ f_i T = 0 $

y por consiguiente en combinaciones lineales de estos.

Ahora $\| Tx \| \leq \|x\|$ tiene para ello. Por otro lado, se aprecia que el $T$ es ilimitado: en efecto, tenemos $x_n := e_1+\dots+e_n$ $\| x_n \|=\sqrt{n}$, $T x_n = n$, que $\frac1{\| x_n \|} Tx_n = \sqrt{n} \to \infty$.

Answer 2

Para ampliar supinf del resultado, en espacios de Banach que esto es imposible: es conocido que para cada Hamel base de ellos $B=\{b_i: i\in I\}$, a lo sumo un número finito de coordenadas funcionales son acotados. Por otro lado cada coordenada funcional $b_i^{\#}$ está delimitada en $B$, como para $i\neq j$, $b_i^{\#}(b_j)=0 \leq \|b_j\|$ y $b_i^{\#}(b_i)=1 \leq \frac{1}{\|b_i\|}\|b_i\|$, de modo que cada una de las $b_i^{\#}$ está delimitada en la base con una constante de $M_i=\frac{1}{\|b_i\|}$.