$ (a,b), (c,d) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\ $ nos permite definir una relación en $(a,b) \sim (c,d)$ si y sólo si $\ a + 2d = c+2b$

Question

Pregunta:

Para $ (a,b), (c,d) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\ $ definamos una relación por $(a,b) \sim (c,d)$ si y sólo si $\ a + 2d = c+2b$

Esto es una relación de equivalencia en $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$?

Mi intento:

Reflexivo?

Observe que $ \forall (a,b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}, a + 2b = a + 2b \implies ((a,b),(a,b)) \in R$.

Por lo tanto la relación es reflexiva.

Simétrica?

Si $ \ ((a,b), (c,d)) \in R \implies a + 2d = c + 2b \implies c + 2b = a + 2d \implies ((c,d), (a,b)) \in R $.

Por lo tanto la relación es simétrica.

Transitiva?

Si $ \ ((a,b), (c,d)) \in R$ $ \ ((c,d), (e,f)) \in R \implies \ a + 2d = c+2b\ $ $\ c + 2f = e + 2d \implies a + 2d + c + 2f = c+2b + e + 2d \implies a + 2f = 2b + e \implies a + 2f = e + 2b \implies ((a,b),(e,f)) \in R$

Por lo tanto la relación es transitiva.

Por lo tanto, la relación es una relación de equivalencia.

No estoy muy seguro de si me lo han demostrado correctamente y si mi enfoque es correcto.

Answer 1

Que un correcto enfoque directo. Más generalmente, tenga en cuenta que$\,(a,b)\sim (c,d)\iff f(a,b) = f(c,d)\,$$\,f(u,v) = u-2v\,$, por lo que podemos aplicar el siguiente criterio muy general kernel criterio.

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Es sencillo demostrar las relaciones de la forma $\rm\, x\sim y {\overset{\ def}{\color{#c00}\iff}} f(x) = f(y)\, $ son las relaciones de equivalencia.

De manera más general, supongamos $\rm\ u\sim v\ \smash[t]{\overset{\ def}{\color{#c00}\iff}}\, f(u) \approx f(v)\ $ para una función $\rm\,f\,$ y la equivalencia de la relación de $\,\approx.\, \ $, a Continuación, la relación de equivalencia $\rm\color{#0a0}{properties\ (E)}\,$ $\,\approx\,$ transporte (pullback) a $\,\sim\,$ a lo largo de $\rm\,f$ como sigue

• reflexiva $\rm\quad\ \color{#0a0}{\overset{(E)}\Rightarrow}\, f(v) \approx f(v)\:\color{#c00}\Rightarrow\:v\sim v$

• simétrica $\rm\,\ u\sim v\:\color{#c00}\Rightarrow\ f(u) \approx f(v)\:\color{#0a0}{\overset{(E)}\Rightarrow}\:f(v)\approx f(u)\:\color{#c00}\Rightarrow\:v\sim u$

• transitiva $\rm\ \ \ u\sim v,\, v\sim w\:\color{#c00}\Rightarrow\: f(u)\approx f(v),\,f(v)\approx f(w)\:\color{#0a0}{\overset{(E)}\Rightarrow}\:f(u)\approx f(w)\:\color{#c00}\Rightarrow u\sim w$

Tales relaciones son llamados (equivalencia) núcleos. Uno llama a $\, \sim\,$ $\,(\approx)\,$ núcleo de $\rm\,f.\,$ de Las clases de equivalencia $\,f_c = f^{-1}(c)\,$ son llamados fibras o preimages, o conjuntos de nivel / curvas de $f.$

El tuyo es el caso especial cuando $\,\approx\,$ es la equivalencia de la relación de igualdad.

Usted puede encontrar muchos otros ejemplos de equivalencia granos antes de respuestas.

Answer 2

Sí, la prueba es perfectamente correcta. Podemos simplificar la prueba un poco más, sobre todo la parte de transitividad, si observamos que equivale a que $a+2d=c+2b$ $a-2b=c-2d$, como esta forma cada lado de la condición utiliza las entradas de la misma pareja.

Answer 3

Si usted reorganizar la definición de la ecuación de $a-c=2b-2d$ o $\frac{b-d}{a-c}=\frac12$, usted puede encontrar una interpretación geométrica. Tenemos $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si $(a,b)$ $(c,d)$ se encuentran en la misma línea con una pendiente de $\frac12$. Geométricamente, es claro que esta es una equivalencia: cualquier punto en la misma línea como a sí mismo; si el punto de $P$ está en la misma línea que el punto de $Q$, entonces el punto de $Q$ está en la misma línea como $P$; si $P$ $Q$ están en la misma línea, y así se $Q$$R$, entonces también lo son la $P$ $R$.

Las clases de equivalencia bajo esta relación son todas las líneas con $\frac12$ de pendiente.