Curvatura de la tierra de Theorema Egregium

Question

Hace poco me enteré de Gauss, Theorema Egregium para superficies incrustado en $\mathbb{R}^3$. Una TA de mi clase sugestivamente, dijo que a partir de este, es decir, que la curvatura Gaussiana sólo depende de la primera forma fundamental de una superficie, podemos calcular la curvatura de la tierra sin salir de su superficie.

Yo entiendo que con el conocimiento de la primera forma fundamental, podemos calcular la curvatura, pero para esta pregunta no estoy seguro de cómo proceder, ya que no tiene un a priori de la primera forma fundamental de la tierra dada. Me parece que tenemos que encontrar.

He visto algunas respuestas usando el de Gauss-Bonnet teorema, pero creo que trata con un total de curvatura, y estoy hablando de la curvatura Gaussiana (puedo estar equivocado aquí, yo no sé realmente que el teorema de bien).

¿Tiene algo que ver con la medida de los triángulos y ángulos? Y si es así, alguien me puede ayudar relacionar esto con Gauss y teorema de la primera forma fundamental?

Otro punto de confusión: ¿Cómo puedo siquiera saben lo que es un triángulo sobre una superficie arbitraria? Un triángulo se realiza mediante la conexión de tres puntos con la curva que alcanza la distancia más corta posible entre esos puntos, ¿verdad? Así que en medio de una llanura, que es el normal segmento de línea, pero ¿qué acerca de superficies arbitrarias?

Answer 1

Los caminos más cortos en una superficie arbitraria, llamado (pre-)geodesics, son difíciles de describir explícitamente en general. En una esfera (una buena aproximación a la superficie de la tierra, tan lejos como la geodesia es que se trate), sin embargo, son arcos de grandes círculos.

Por lo general, si un triángulo geodésico sobre una superficie que encierra un topológico de disco $T$ si $\Theta$ denota el total de los ángulos interiores de $T$, y si $K$ indica que la curvatura de Gauss de la función, entonces $$ \iint_{T} K\, dA = \pi + \Theta. $$ En particular, si $K > 0$, una geodésica triángulo tiene ángulo interior mayor que $\pi$, y si $K < 0$, una geodésica triángulo tiene los ángulos interiores de menos de $\pi$.

En una esfera de radio $R$,$K = 1/R^{2}$, por lo que una geodésica triángulo de área $A$ total ángulo interior $\pi + A/R^{2}$. Por ejemplo, un triángulo con tres ángulos rectos (un octavo de una esfera) tiene área de $4\pi R^{2}/8$ y el total de ángulo interior $\frac{3}{2}\pi$.

La curvatura puede ser observado en la práctica: las líneas de Longitud son geodesics, mientras que las líneas de latitud (excepto el ecuador), no lo son. Si un inspector quiere despedir a una milla (casi)plaza de las parcelas, las parcelas se ajuste bien de este a oeste (porque dos líneas de latitud son separados por una distancia constante), pero no así de norte a sur (porque dos líneas de longitud acercarse al más lejos del ecuador de uno de los viajes). En consecuencia, en moderada latitudes, cada varios kilómetros al norte-sur de los límites de la plaza de las parcelas debe "correr" el este o el oeste con el fin de que las parcelas siguen siendo alrededor de la plaza. Las siguientes fotografías (propio trabajo) muestran este fenómeno en los casi planas llanuras del este de Texas, tomadas desde un avión.

Answer 2

¿Tiene algo que ver con la medida de los triángulos y ángulos? Y si es así, alguien me puede ayudar relacionar esto con Gauss y teorema de la primera forma fundamental?

Sí. El punto es que la primera forma fundamental poder medir longitudes y áreas en una superficie. Además, permite definir cuál es el ángulo entre dos vectores de tangentes. Theorema Egregium le dice que toda esta información es suficiente para determinar la Curvatura de Gauss. Por ejemplo, el uso de los siguientes

Teorema (Bertrand-Diquet-Puiseux): vamos a $M$ ser un habitual de la superficie. Si $p \in M$, $C_\epsilon$ y $D_\epsilon$ son del círculo polar y polar disco en $M$ centrada en $p$ radio $\epsilon$ (es decir, las imágenes a través de $\exp_p$ de la correspondiente círculo de disco y en $T_pM$), luego $$K(p) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{3}{\pi}\frac {2\pi \epsilon - L(C_\epsilon)}{\epsilon^3} = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{12}{\pi} \frac{\pi \epsilon^2 - A(D_\epsilon)}{\epsilon^4},$$where $L(C_\epsilon)$ and $A(D_\epsilon)$ denote the length of the polar circle and the area of the polar disk. You can check p. $413$ en Primaria Geometría Diferencial por O'Neill para conocer los detalles técnicos.

Otro punto de confusión: ¿Cómo puedo siquiera saben lo que es un triángulo sobre una superficie arbitraria? Un triángulo se realiza mediante la conexión de tres puntos con la curva que alcanza la distancia más corta posible entre esos puntos, ¿verdad? Así que en medio de una llanura, que es el normal segmento de línea, pero ¿qué acerca de superficies arbitrarias?

El análogo de rectas en el plano, para superficies arbitrarias se llama geodesics: curvas de minimizar localmente arco de longitud. O, equivalentemente, las curvas de $\alpha$ que son auto-paralelo: $D\alpha'/dt = 0$ donde $D/dt$ denota la derivada covariante a lo largo de $\alpha$. Sucede que para los aviones, geodesics son líneas, por lo que estamos realmente la generalización de las líneas. Para las esferas, geodesics son grandes círculos. Geodesics se describen en las coordenadas por un sistema de ecuaciones diferenciales: $$\ddot{u}^k + \sum \Gamma_{ij}^k \dot{u}^i \dot{u}^j = 0,$$where the $\Gamma_{ij}^k$ are the so-called Christoffel Symbols of the coordinate system (and for the usual coordinate system on $\Bbb R^2$, all of them are zero, hence the geodesics are lines). You'll learn more about geodesics as the course goes on, but I guess this'll give you an idea about it. Geodesic triangles are triangles on $M$ para que los lados puede parametrizar como geodesics, y esto nos permite demostrar teoremas como el de Gauss-Bonnet.

Answer 3

Una manera de pensar acerca de geodesics sobre una superficie es que se parecen como líneas rectas a un 2-dimensional observador que viven en la superficie. Por lo tanto van a ver una geodésica del triángulo de la forma en que vemos un triángulo en el espacio Euclidiano $\mathbb{R}^2$. Si la curvatura Gaussiana de una superficie es constante(como en las esferas, llanuras o pseudospheres) el 2-dimensional observador podría dibujar geodésica triángulos de diferentes tamaños, medir el ángulo de déficit(o superávit), tapón de ellos en el teorema(con $k_g \equiv 0$), y calcular la curvatura de Gauss.