Otras respuestas han mostrado ejemplos de campos numéricos de grado infinito $K$ (es decir, $K$ es algebraico sobre $\mathbf Q$ con $[K:\mathbf Q] = \infty$ ) donde $\mathcal O_K$ no es noetheriano. Demuestran que la respuesta a tu pregunta es "a veces no". Después de pensar en ellos, puede que te hagas a la idea de que el anillo de enteros en un campo numérico de grado infinito nunca es noetheriano. Mostraré cómo crear recursivamente un campo numérico de grado infinito $F$ tal que su anillo de enteros $\mathcal O_F$ est Noetheriano, y por tanto forma un dominio Dedekind. Así que otra respuesta a tu pregunta es "a veces sí". Encontré la siguiente construcción en la p. 111 del libro de Schilling Teoría de las valoraciones que es lo suficientemente antiguo (1950) como para decir que los campos que contienen $\mathbf Q$ tienen características $\infty$ en lugar de la característica $0$ .
Antes de empezar, describiré brevemente la idea en que se basa la construcción. Construiremos el campo grande como una torre de campos de números (ordinarios de grado finito) en la que ordenamos que en el $k$ capa de la torre los ideales primarios que se encuentran sobre la primera $k$ primos siguen siendo primos en todas las etapas posteriores. Esto implicará que en el campo $F$ en la cima de la torre (un campo numérico de grado infinito) cada ideal primo de $\mathcal O_F$ está finitamente generada, y eso resulta ser suficiente para conocer todos los ideales de $\mathcal O_F$ están finitamente generados.
Sea $p_1, p_2, p_3, \ldots$ la sucesión de todos los números primos y $n_1, n_2, n_3, \ldots$ sea una secuencia de números enteros todos mayores que $1$ (por ejemplo $n_j = 2$ para todos $j$ ). Configure $F_1 = \mathbf Q$ . Supongamos que hemos construido una torre creciente de campos numéricos (de grado finito) $F_1 \subset \cdots \subset F_k$ para algunos $k\geq 1$ tal que $[F_{i+1}:F_i] = n_i$ para $1\leq i \leq k-1$ si $k\geq 2$ . (Ignore la condición de grado si $k=1$ .) Para construir $F_{k+1}$ , dejemos que $\{\mathfrak p_{\alpha}\}$ sea el finito conjunto de ideales primos en $\mathcal O_{F_k}$ tumbado $p_1,\ldots,p_k$ . Los campos de residuos $\mathcal O_{F_k}/\mathfrak p_\alpha$ son finitos, y sobre cada campo finito hay un irreducible de cada grado. Por tanto, para cada $\alpha$ existe un irreducible mónico $\pi_{\alpha}(x)$ en $(\mathcal O_{F_k}/\mathfrak p_{\alpha})[x]$ de grado $n_k$ . Utilizando el teorema chino del resto coeficiente en grados $0, 1, \ldots, n_k-1$ existe un polinomio mónico $\pi(x) \in \mathcal O_{F_k}[x]$ de grado $n_k$ tal que $\pi(x) \equiv \pi_\alpha(x) \bmod \mathfrak p_\alpha$ para todos $\alpha$ . Establecer $F_{k+1} = F_k(r_k)$ donde $r_k$ es una raíz de $\pi(x)$ .
Desde $\pi(x)$ es mónico e irreducible cuando se reduce a un ideal primo (distinto de cero) de $\mathcal O_{F_k}$ (utilice cualquier $\mathfrak p_\alpha$ ), $\pi(x)$ es irreducible sobre $F_k$ y así $[F_{k+1}:F_k] = \deg \pi(x) = n_k \geq 2$ . Para cada $\alpha$ el polinomio $\pi(x)$ módulo reducido $\mathfrak p_\alpha$ es irreducible, por lo que ${\rm disc}(\pi(x)) \not\equiv 0 \bmod \mathfrak p_\alpha$ (los irreducibles sobre campos finitos son separables) y por tanto el ideal primo $\mathfrak p_\alpha$ en $\mathcal O_{F_k}$ sigue siendo primo cuando se extiende a un ideal en los enteros de $F_k(r_k) = F_{k+1}$ . (Se trata de un análogo sobre $F_k$ del hecho de que si $f(x) \in \mathbf Z[x]$ es mónico y $p$ es un número primo tal que $f(x) \bmod p$ es irreducible sobre $\mathbf Z/(p)$ y fijamos $K = \mathbf Q(r)$ donde $f(r) = 0$ entonces la incrustación natural $\mathbf Z[x]/(f(x)) \cong \mathbf Z[r] \hookrightarrow \mathcal O_K$ se convierte en un isomorfismo cuando reducimos mod $p$ : $(\mathbf Z/p)[x]/(\overline{f}(x)) \cong \mathcal O_K/p\mathcal O_K$ porque ${\rm disc}(f(x)) \not\equiv 0 \bmod p$ Así que $p\mathcal O_K$ es primo en $\mathcal O_K$ .) Por tanto, todos los ideales primos en $\mathcal O_{F_k}$ tumbado $p_1,\ldots,p_k$ siguen siendo primos cuando se extienden a ideales en $\mathcal O_{F_{k+1}}$ .
Esta construcción recursiva de campos numéricos $F_k$ puede continuar indefinidamente y $[F_k:\mathbf Q] \geq 2^{k-1}$ por lo que la unión (o límite directo) $F$ de todos $F_k$ es un campo, algebraico y de grado infinito sobre $\mathbf Q$ . Por construcción, los ideales primos sobre $p_k$ en $F_k$ son inertes en $F_m$ para todos $m \geq k$ . Sea $\mathcal O_F$ sean los enteros algebraicos en $F$ (unión de todos los $\mathcal O_{F_k}$ ).
Afirmación: todo ideal primo en $\mathcal O_F$ está finitamente generada.
Prueba de la reclamación: Sea $\mathfrak p$ sea un ideal primo en $\mathcal O_F$ . Sin pérdida de generalidad no es $(0)$ Así que $\mathfrak p$ tiene un elemento distinto de cero de algún $\mathcal O_{F_j}$ Así que $\mathfrak p \cap \mathcal O_{F_j}$ es un ideal primo no nulo en $\mathcal O_{F_j}$ . Sea $p$ sea el número primo situado por debajo de $\mathfrak p \cap \mathcal O_{F_j}$ Así que $p = p_k$ para algunos $k$ . Entonces $\mathfrak p \cap \mathcal O_{F_k}$ es un ideal primo sobre $p_k$ en $\mathcal O_{F_k}$ así que por diseño este ideal primo es inerte en $F_m$ para todos $m\geq k$ . Desde $\mathcal O_{F_k}$ es noetheriano existe un conjunto generador finito $S$ para $\mathfrak p\cap \mathcal O_{F_k}$ como ideal en $\mathcal O_{F_k}$ y en cada $\mathcal O_{F_m}$ con $m\geq k$ la ampliación de $\mathfrak p \cap \mathcal O_{F_k}$ a un ideal en $\mathcal O_{F_m}$ es primo, por lo que $S$ genera $\mathfrak p \cap \mathcal O_{F_m}$ como ideal en $\mathcal O_{F_m}$ . Cada elemento de $\mathfrak p$ est en $\mathcal O_{F_m}$ para algunos $m\geq k$ Así que $S$ genera $\mathfrak p$ como ideal en $\mathcal O_F$ .
Si todo ideal primo en un anillo conmutativo (con identidad...) está finitamente generado, entonces un teorema de I.S. Cohen (que utiliza el lema de Zorn) dice que todo ideal está finitamente generado, por lo que $\mathcal O_F$ es noetheriano.
