Ir a través de algunas de las notas antiguas, me encontré con el siguiente problema:
Deje $f,g$ el valor real continua de las funciones de $[a,b]\subset\mathbb{R}$. Probar que $$f(x)\int_{a}^{x}g(t)\,dt \;=\; g(x)\int_{x}^{b}f(t)\,dt$$ tiene al menos una solución en $(a,b)$.
Por desgracia, tengo una nota (en el margen de no menos!) que sólo dice: "la prueba sigue por el teorema de Rolle". Afortunadamente, esta prueba es más fácil que el Último Teorema de Fermat, pero no me importaría que alguien se comunique mi lógica, ya que es un par de meses desde hacer el curso.
Prueba: se introduce la función: $$\begin{aligned} F:[a,b] &\;\longrightarrow\; \mathbb{R} \\ x &\;\longmapsto\; F(x) \;\equiv\; \left(\int_{a}^{x}g(t)\,dt\right)\left(\int_{x}^{b}f(t)\,dt\right). \end{aligned}$$ Desde el Teorema Fundamental del Cálculo, la integral de una función continua en a $[a,b]$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Se sigue de que el producto de la continua y diferenciable de las funciones que $F$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$. Además, $F(a)=F(b)=0$ desde los límites de una de las integrales en $F$ será el mismo, y por lo tanto se desvanecen, en$x=a$$x=b$. Por lo tanto, $F$ cumple los requisitos del teorema de Rolle y $$\exists\, x_{0}\in(a,b) \quad\text{s.t.}\quad F'(x_{0})\,=\, 0.$$ A partir de la Regla del Producto y la de Leibniz Integral de la Regla, tenemos $$\begin{aligned}F'(x) &\;=\; \frac{d}{dx}\left(\int_{a}^{x}g(t)\,dt\right)\cdot\left(\int_{x}^{b}f(t)\,dt\right) + \left(\int_{a}^{x}g(t)\,dt\right)\cdot\frac{d}{dx}\left(\int_{x}^{b}f(t)\,dt\right) \\[0.3cm] &\;=\; g(x)\int_{x}^{b}f(t)\,dt - f(x)\int_{a}^{x}g(t)\,dt \end{aligned}$$ y, por tanto, existe al menos una $x_{0}\in(a,b)$ tal que $$\begin{aligned} F'(x_{0})\,=\, 0 \quad&\Longrightarrow\quad g(x_{0})\int_{x_{0}}^{b}f(t)\,dt - f(x_{0})\int_{a}^{x_{0}}g(t)\,dt \;=\; 0 \\[0.3cm] &\Longrightarrow\quad g(x_{0})\int_{x_{0}}^{b}f(t)\,dt \;=\; f(x_{0})\int_{a}^{x_{0}}g(t)\,dt \end{aligned}$$ y el resultado de la siguiente manera. $\;\blacksquare$
Tengo la sensación de que probablemente me ponga demasiado en una prueba, pero es bueno para mi propia cordura, así que sé exactamente lo que está pasando y no se quede en el problema (como ahora!) de recordar con precisión la lógica. Pensamientos de bienvenida!
