Convergencia de una serie en función de un parámetro.

Question

Estaba estudiando la convergencia de una serie con un parámetro y quiero preguntaros si mi conclusión es correcta y si hay un método mejor para hacerlo.

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{n}{n+4} \right)^{\alpha}$$

Se me pide que diga para qué $\alpha$ la serie es convergente. He intentado hacer esto:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{n}{n+4} \right)^{\alpha}= \sum_{n=1}^{\infty}\left(\arccos\frac{n}{n+4} \right)^{\alpha}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arccos\left(1-\frac{4}{n+4}\right)\right)^{\alpha}$$

Ahora traté de ver la serie Taylor de $\arccos(1-y)$ como $y\rightarrow 0$ , $y=\frac{4}{n+4}$ .

Al derivar $g(y)=\arccos(1-y)$ Lo obtengo:

$$g'(y)=\frac{1}{\sqrt{1-(1-y)^2}}=(-x^2+2x)^{\frac{1}{2}}=(2x)^{\frac{1}{2}}(1-\frac{x}{2})^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2y}+o(\sqrt{2y})$$

Así lo veo:

$$g(y)=\int\frac{1}{\sqrt{2y}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{2x}}\right)dx=\sqrt{2x}+o(\sqrt{2x})$$

A partir de esto, puedo concluir que mi serie es:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arccos\left(1-\frac{4}{n+4}\right)\right)^{\alpha} \sim \left(\sqrt{\frac{8}{n+4}}\right)^{\alpha}$$

Así, para la comparación asintótica con $\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{\alpha}{2}}$ la serie converge si y sólo si $\alpha > 2$ .

¿Estoy en lo cierto? Si es así, ¿puedo preguntarle si hay un método mejor para hacer este cálculo? Y, sobre todo, si hay un método mejor (si es posible sin implicar integrales) para calcular la serie de Taylor de las funciones trigonométricas inversas.

Gracias de antemano.

Answer 1

$$\begin{eqnarray*}\arcsin(1)-\arcsin\left(\frac{n}{n+4}\right) &=& \int_{\frac{n}{n+4}}^{1}\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}}\\&\stackrel{z\mapsto 1-x}{=}&\int_{0}^{\frac{4}{n+4}}\frac{dx}{\sqrt{x(2-x)}}\\&\stackrel{x\to u^2}{=}&2\int_{0}^{\frac{2}{\sqrt{n+4}}}\frac{du}{\sqrt{2-u^2}}&\end{eqnarray*}$$ lleva a $\frac{\pi}{2}-\arcsin\left(\frac{n}{n+4}\right)\sim\sqrt{\frac{8}{n+4}}$ de una manera más eficiente, pero tu solución está bien.

Answer 2

$\sin(x) = \sin(\frac{\pi}{2}) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x - \frac{\pi}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2 + o_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2\right) \\ = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2 + o_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2\right)$

Entonces

\begin{align} \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}^-} \frac{1 - \sin(x)}{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2} = \frac{1}{2} \end{align}

Utilizando $u = \sin(x)$ tenemos

\begin{align} \lim_{u \rightarrow 1^-} \frac{1 - u}{\left(\frac{\pi}{2} - \arcsin(u)\right)^2} = \frac{1}{2} \end{align}

Tomando la raíz tenemos $\frac{\pi}{2} - \arcsin(u) \sim_{u\rightarrow 1} \sqrt{2(1-u)}$ .

Answer 3

Tenemos

$$\frac{\pi}{2} -\arcsin x = \int_x^1 (1-t^2)^{-1/2}\, dt.$$

Ahora $1-t^2 = (1+t)(1-t),$ por lo que para $x$ cerca de $1,$ el integrando anterior se parece mucho a $(2(1-t))^{-1/2}.$ Y efectivamente, se puede comprobar por L'Hopital y la FTC que

$$\lim_{x\to 1^-}\frac{\int_x^1 (1-t^2)^{-1/2}\, dt}{\int_x^1 (2(1-t))^{-1/2}\, dt} = 1.$$

Lo bueno es que la integral en el denominador se puede hacer fácilmente. Es igual a $\sqrt 2 (1-x)^{1/2}.$ Esto nos lleva rápidamente a la respuesta que has obtenido.