¿Hay extensiones mas uncountably infinitas de teorías finitas de los números naturales?

Question

Puedo mostrar que dado un segmento finito de oraciones verdaderas acerca de los números naturales hay son infinitamente muchas extensiones completadas (usando los teoremas de incompletitud). Tengo curiosidad si hay extensiones mas uncountably infinitas.

Answer 1

No hay incontables extensión debido a que una teoría es un conjunto de wffs, y sólo hay countably muchos wffs.

Pero hay una cantidad no numerable de completar extensiones, cada uno de los cuales es countably infinito.

(Primera agregar suficiente axiomas que Gödel del teorema de la incompletitud se aplica. A continuación, enumerar todas las sentencias. Cada vez que llega a uno que todavía no se han decidido, usted puede agregar o eso, o su negación a la teoría. Usted no va a funcionar de indecisos oraciones en tiempo finito, debido a Gödel, porque sólo han añadido un número finito sin embargo, en cada paso. De esta manera usted puede pasar toda una infinita secuencia de bits sobre la decisión de que la extensión de producir.)

Answer 2

Sí, hay una cantidad no numerable (de hecho, continuum muchos) completa las teorías de la ampliación de cualquier finito dado (de hecho, cualquier computable) verdadera teoría de la aritmética lo suficientemente fuerte como para que los teoremas de Gödel para aplicar a ella.

Esto puede ser probado a través del teorema de la incompletitud, junto con un poco de topología. Fijar una computable verdadera teoría de la aritmética $T$, y un listado de $\{\varphi_i:i\in\mathbb{N}\}$ de las sentencias en el lenguaje de la aritmética; se puede asociar a cada una infinita secuencia binaria $f$ correspondiente teoría de la aritmética ampliar nuestro original $T$; $$T_f=T\cup\{\varphi_i: f(i)=1\}\cup\{\neg\varphi_i: f(i)=0\}.$$ Now there's no reason for each $T_f$ to be consistent, but it's not hard to show that the set of $f$ such that $T_f$ is consistent forms a closed set in the sense of the usual topology on the set of infinite binary strings. (Note that the completions of $T$ are exactly these $T_f$s.)

Ahora usamos un puro hecho acerca de la topología anterior: que cualquier cerrada contables conjunto de puntos aislados. (Brevemente: cualquier conjunto sin puntos aislados es denso en algún lugar, por lo tanto incontables cerrado.) En este contexto, esto significa que si $\{f: T_f$ es consistente$\}$ es contable, entonces hay algunas finito cadena binaria $\sigma$ que no es exactamente una infinita secuencia binaria $f$ extender $\sigma$ tal que $T_f$ es consistente. Pero esto significa que la teoría de la $$T_\sigma=T\cup\{\varphi_i: \sigma(i)=1\}\cup\{\neg\varphi_i: \sigma(i)=0\}$$ ya demuestra o refuta cada frase de la aritmética, que es, está completo!

Por lo $T_\sigma$ es una completa extensión de $T$; pero es obtenido mediante la adición de sólo un número finito de oraciones a $T$, por lo tanto es computable desde $T$ es. Y esto contradice el teorema de Gödel.

Answer 3

Sí, por el teorema de la incompletitud. Un argumento fácil es la enumeración de las oraciones en el lenguaje de la aritmética. Asignar a cada nodo $\sigma$ de el árbol de la $2^{<\omega}$ una teoría de la $T_\sigma$ como sigue: vaya a $T_\emptyset=T$ ser la teoría de comenzar con (que podemos suponer que es lo suficientemente potente como para el primer teorema de la incompletitud se aplica. Por ejemplo, desde que $T$ es true, se puede reemplazar con $T+Q$ si es necesario, donde: $Q$ es de Robinson aritmética, que es finitely axiomatizable). Cada una de las $T_\sigma$ es finita y constante extensión de $T$ y por lo tanto el teorema de la incompletitud todavía se aplica. Para definir estas teorías, proceda de la forma recursiva de la siguiente manera: Dado $T_\sigma$, elija la primera frase en su enumeración no se decidió por $T_\sigma$, decir $\phi$, vamos a $T_{\sigma^\frown0}=T_\sigma+\phi$$T_{\sigma^\frown1}=T_\sigma+\lnot\phi$. Para cada una de las $x\in 2^\omega$ asigne $T_x:=\bigcup_n T_{x\upharpoonright n}$. Esto es consistente por la compacidad y completa de la construcción. La construcción también se asegura de que estas teorías son pares incompatibles y, por tanto, diferente.

Quizás vale la pena comentar que aunque el árbol construido es bastante simple (cada nodo es computable de $0'$), las ramas son bastante complicados.