El conocido "Dos Niños problema" se responde " En una familia con dos niños, ¿cuáles son las posibilidades, si uno de los niños es una niña, que tanto los niños, niñas?"
¿Qué acerca de esta variante:
M. Smith dice: yo tengo dos hijos y al menos uno es de una chica llamada Jane .
¿Cuáles son las posibilidades de que tanto los niños, niñas si la probabilidad de que una chica se llama Jane es p ?
Está bien, quizá estoy a punto de cometer uno de los errores tan comunes con este tipo de problema y desordenar soberanamente, pero luego de que voy a aprender algo de la gente corrección de mí.
Creo que la idea y la intención de que el problema es que si el nombre de Jane es raro, entonces es más probable que un niño se llama Jane si tienen dos niñas que si usted tiene una niña y un niño (aunque el problema es posiblemente mal formuladas, presumiblemente, los chicos nunca se llama Jane, y permitimos la posibilidad de que un padre puede, por la elección de los nombres al azar, el nombre de sus chicas "Jane" por casualidad).
Me gustaría tratar de calcular de la siguiente manera: desde al menos un hijo es una niña, tenemos tres posibilidades igualmente probables, cada uno con una probabilidad de $\frac{1}{3}$: chico-chica, chica-chico o chica-chica. En este punto, el "estándar" problema muestra que las probabilidades de ser niñas es $\frac{1}{3}$.
Pero si los nombres de las chicas son aleatorios e independientes, y Jane ha probabilidad de $p$, tiene las siguientes posibilidades:
Así: desde los eventos en los que hay al menos una chica llamada Jane total de la probabilidad de $$\frac{4p-p^2}{3}$$ y la probabilidad de que tanto los niños de las niñas con al menos una con el nombre de Jane es $\frac{2p-p^2}{3}$, entonces la probabilidad de que tanto niños, niñas, dado que al menos una es una niña y se llama Jane es $$\frac{\quad\frac{2p-p^2}{3}\quad}{\quad\frac{4p-p^2}{3}\quad} = \frac{2-p}{4-p}.$$ Si las niñas son siempre llamado Jane ($p=1$), entonces esto da $\frac{1}{3}$, la probabilidad de que ambas son niñas.
Para evaluar esta probabilidad sería necesario conocer las probabilidades condicionales de M. Smith diciendo esto, dada la diversidad de los casos. Dado que esta información no está disponible, sólo podemos especular. Como es habitual en ese tipo de preguntas (pero no en la vida real), suponemos que las probabilidades a priori son $1/4$ que tanto los niños sería niñas, $1/2$ que uno es una niña y un niño, $1/4$ que ambos son varones. Aquí hay tres escenarios:
A) M. Smith es elegir al azar a uno de sus hijos, y que le dice que el nombre del niño. No hay nada especial sobre el nombre de "Jane".
B) Sin saber nada acerca de Smith de la familia, que le preguntó: "¿cuántos hijos tiene usted? Es una llamada Jane?"
C) Sin saber nada acerca de Smith de la familia, que le preguntó: "¿cuántos hijos tiene usted? Dime el nombre de una de sus niñas, si usted tiene alguna". No hay nada especial sobre el nombre de "Jane".
En el caso (A), la probabilidad de que ambas son niñas es 1/2 (porque en el-niño-niña-caso de que él podría haber elegido a decirle a usted acerca de un niño).
En el caso (B), la probabilidad es de aproximadamente 1/2, debido a que la probabilidad de una Jane en un dos-niña de la familia es aproximadamente el doble de la probabilidad de una Jane en una sola chica de la familia (esto dependerá de Smith prácticas de asignación de nombres, pero en los típicos modelos será exactamente el doble).
En el caso (C), la probabilidad de que ambas son niñas es de 1/3, debido a que la probabilidad condicional de la respuesta es la misma en el-niño-niña-caso como en el de la muchacha-muchacha caso.
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