Cómo encontrar números enteros $x,y$ tal que $1+5^x=2\cdot 3^y$

Question

Encontrar esta ecuación entero solución $$1+5^x=2\cdot 3^y$$

Sé $$x=1,y=1$$ is such it and $$x=0,y=0$$ Creo que esta ecuación no tiene solución. Pero no puedo demostrarlo.
Este problema es de Shanghai olimpiada de matemáticas de la pregunta en el 2014.

Answer 1

Si $x=0$,$y=0$. Si $y=0$,$x=0$.

Deje $x,y\ge 1$. A continuación,$1+(-1)^x\equiv 0\pmod{3}$, lo $x$ es impar, por lo $5^x\equiv 5\pmod{8}$, lo $3^y\equiv 3\pmod{8}$, lo $y$ es impar. Tres casos:

• $y=3m$. A continuación,$y\equiv 3\pmod{6}$, lo $3^y\equiv -1\pmod{7}$, lo $5^x\equiv 4\pmod{7}$, lo $x=6t+2$, contradicción (debido a $x$ es impar).

• $y=3m+1$. A continuación,$y\equiv 1\pmod{6}$, lo $3^y\equiv 3\pmod{7}$, lo $5^x\equiv 5\pmod{7}$, lo $x=6t+1$, lo $5^x\equiv 5\pmod{9}$, lo $3^y\equiv 3\pmod{9}$, lo $y=1$, lo $x=1$.

• $y=3m+2$. A continuación,$3^y\equiv 9\pmod{13}$, lo $5^x\equiv 4\pmod{13}$, imposible.