No sé si esta pregunta es apropiada para este sitio. De todos modos, estoy buscando un isomorfismo de orden $f:K \longrightarrow \epsilon_o $, que $(K, \leq)$ es un subconjunto (correcta o no) de $(\mathbb{Q}, \leq)$ y $\epsilon_o = \sup\{\omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, ... \}$. En realidad, yo no estoy encontrando ni un isomorfismo entre $K$y $\omega^{\omega}$. Gracias en avanzada.
Respuesta
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Aquí es un método para la construcción de un subconjunto de los racionales fin de isomorfo a $\varepsilon_0$.
En primer lugar, usted necesita fundamental de secuencia para cada límite ordinal $\alpha$ menos de $\varepsilon_0$. (Fundamental de la secuencia de $\alpha$ es un aumento de la secuencia de los números ordinales cuya supremum es $\alpha$.) Aquí está la definición estándar, en caso de que usted no lo sabe. Esta es una definición inductiva $\alpha$. Representar a $\alpha$ en forma normal de Cantor,
$\alpha = \omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \ldots + \omega^{\alpha_n}$.
Si $\alpha_n = \beta + 1$, definir $\alpha [i] = \omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \ldots + \omega^{\beta} * i$.
Si $\alpha_n$ es un ordinal límite, definir $\alpha [i] = \omega^{\alpha_1} + \omega^{\alpha_2} + \ldots + \omega^{\alpha_n [i]}$.
Para $\varepsilon_0$, podemos utilizar la función fundamental de la secuencia de $\varepsilon_0[0] = 1, \varepsilon_0[1] = \omega, \varepsilon_0[2] = \omega^\omega, \varepsilon_0[3] = \omega^{\omega^\omega}, \ldots$ .
Ahora que tenemos fundamental secuencias, se puede iniciar la construcción. Vamos a asociar los números ordinales a varios puntos en el intervalo [0, 1]. En primer lugar, como un programa de instalación, colocar 0 en 0, y $\varepsilon_0$ a 1 (Nota: 1 no se incluye en $K$; sólo estoy colocando $\varepsilon_0$ temporalmente.) Siguiente, repetimos la siguiente regla $\omega$ veces:
REGLA: Por cada límite ordinal $\alpha$ ya hemos colocado, se coloca el fundamental de la secuencia para que el $\alpha$ en el intervalo entre el $\alpha$ y el colocado previamente ordinal.
Para la primera iteración, sólo hay un ordinal límite, $\varepsilon_0$. Hemos colocado $\varepsilon_0$ a 1, y en el anterior ordinal es de 0, así que son el lugar fundamental de la secuencia de $\varepsilon_0$ en el intervalo [0, 1]. Podemos elegir cualquier secuencia infinita de puntos en [0, 1]; vamos a utilizar la secuencia de 1/2, 3/4, 7/8, ... . Así que coloque $\varepsilon_0[0]$ a 1/2, $\varepsilon_0[1]$ a 3/4, $\varepsilon_0[2]$ en 7/8, y así sucesivamente.
Para la segunda iteración, ahora tenemos infinidad de límite ordinales colocado; para cada ordinal límite, se aplica el procedimiento anterior. Por ejemplo, tome $\varepsilon_0[3] = \omega^{\omega^\omega}$, que fue colocado en la 15/16. El anterior ordinal fue colocado en 7/8, por lo que queremos insertar el fundamental de la secuencia de $\omega^{\omega^\omega}$ en el intervalo [7/8, 15/16]. Ahora, hay un pequeño problema; tenemos $\omega^{\omega^\omega}[0] = \omega$$\omega^{\omega^\omega}[1] = \omega^\omega$, ninguno de los cuales son mayores que las realizadas anteriormente ordinal, $\omega^\omega$. Así que, simplemente, de caída de alguno de los elementos fundamentales de la secuencia que no son mayores que las realizadas anteriormente ordinal. Así, ponemos a $\omega^{\omega^\omega}[2] = \omega^{\omega^2}$ a los 15/16 - 1/32, $\omega^{\omega^\omega}[3] = \omega^{\omega^3}$ a los 15/16 - 1/64, y $\omega^{\omega^\omega}[n] = \omega^{\omega^n}$$\frac{15}{16} - \frac{1}{2^{n+3}}$. Repetimos este procedimiento para todos los ordinales límite previamente realizados.
Después de recorrer la regla de $\omega$ de las veces, nos ha puesto a cada ordinal $\le \varepsilon_0$. Así que nos pusimos $K$ igual al conjunto de todos los puntos excepto 1, y tenemos un conjunto de tipo de orden $\varepsilon_0$.
Esto puede parecer más complicado de lo que se quiera, pero yo creo que es tan simple como puede esperarse de un ordinal tan complicado como $\varepsilon_0$.
El mismo procedimiento puede ser utilizado para cualquier ordinal de la forma $\omega^\alpha$ por lo que podemos definir una colección de secuencias fundamentales; y podemos definir una colección de secuencias fundamentales para cualquier ordinal que podemos definir una escala ordinal de la notación. Así, por ejemplo, podemos definir explícitamente un subconjunto de los racionales de orden tipo de $\omega^{CK}_1$, mediante el uso de Kleene $O$ definir secuencias fundamentales. (Este subconjunto no ser recursivo, por supuesto).
