Factores de equilibrio

Question

Un no-cuadrado número no puede ser factorizado a dos idénticos factores. Sin embargo, no todos los que no cuadrados son iguales: algunos de ellos pueden ser considerados relativamente cerca de los factores (por ejemplo, $6=2*3$), mientras que otros pueden tener en cuenta sólo a lejanas factores (por ejemplo, $27=9*3$).

Formalmente, definir un número $N$ $R$equilibrada (para $R \geq 1$), si puede ser factorizado como $N=A*B$, de tal manera que $A \geq B$, e $A / B \leq R$. Por ejemplo:

• $9=3*3$, por lo que (como todos los otros números al cuadrado) es $1$-equilibrado, y también a $2$equilibrado $3$-equilibrado, etc.
• $6=2*3$, por lo tanto es $1.5$-equilibrado, y también a $2$-equilibrado, pero no $1$-equilibrado.
• $27=9*3$, por lo tanto es $3$-equilibrado.
• $7=7*1$, por lo tanto es $7$-equilibrado (de manera similar, cada primer número $p$ $p$- equilibrado).

Estoy interesado en la densidad de la equilibrada enteros. Específicamente:

A. hay una fórmula asintótica para el número de $R$-equilibrado de los números enteros más pequeños que $N$?

• Para $R=1$, es fácil - el número de $1$-equilibrado de los números enteros más pequeños que $N$$\theta (\sqrt{N})$, por lo que la densidad es $\theta (1/\sqrt{N})$, que va de la a $0$ $N$ va al infinito. Es esto también es cierto para $R=2$? Hay un $R$ para los que la densidad de $R$-equilibrado de los números es constante?

B. hay un asintótica de la fórmula para la distancia entre un entero $N$, el más cercano a $R$-equilibrado entero mayor que el $N$?

• Para $R=1$, es fácil - el más cercano a $1$-equilibrado entero mayor que el $N$$\lceil\sqrt{N}\rceil^2$, y la distancia de $N$ es en la mayoría de las $2 \sqrt{N} + 1$, que se extiende hacia el infinito como $N$ va al infinito. Es esto también es cierto para $R=2$? Hay un $R$ para el cual la distancia a la más cercana a $R$-número equilibrado se vuelve constante?

Answer 1

Tenga en cuenta que esta respuesta sólo se dirige a $R=2$, y sólo en una manera muy aproximada, pero también aborda la cuestión de si o no la densidad de $R$-equilibrado números enteros es siempre constante.

Considere la posibilidad de un no-prime entero $K$ tal que $K=pq$ para el más profundo de los factores de $p$$q$. Podemos decir que para cada entero $K\ge2$ de un número es $2$-equilibrado iff el más profundo de los factores (factores más cercano a $\sqrt{K}$) están dentro de una distancia de $p$ el uno del otro. En otras palabras, para un determinado factor de $p$ el mayor número $K$ $2$equilibrada y contiene $p$ íntima factor es $p*2p=2p^2$.

Por lo tanto, podemos enumerar los $2-equilibrado enteros:

${1=(1*1), 2=(1*2), 4=(2*2), 6=(2*3), 8=(2*4), 9=(3*3), 12=(3*4), 15=(3*5), 18=(3*6), 16=(4*4),...}$

Podemos calcular la más grande-$2$-factor de equilibrado menos de $K$. Un factor de $p$ es totalmente-$R$equilibrada para-límite superior $K$ fib $Rp^2\le K$, o, equivalentemente,$p \le \sqrt{\frac{K}{R}}$. Para $K=18$ vemos que el más grande-$2$-factor de equilibrado es $3$. Para los factores por debajo de esta obligado, hay $p+1$ número $2$-equilibrado. Esto nos da un total de $T(\lfloor \sqrt{K/2} \rfloor+1)$ donde $T(n)$ es el n-ésimo número triangular.

Para los factores por encima de esta obligado, hay una constante disminución en la cantidad de $2$-equilibrado de los números. Para cada entero $\sqrt{K/2}<m\le \sqrt{K}$ hay $\lfloor K/m-m\rfloor +1$ $2$-equilibrado de los números que han $m$ como el más pequeño del factor de equilibrado. Tenga en cuenta que esta suma no parecen estar en OEIS, pero a pesar de esta suma aparece oscila en torno a $K/10$ grandes $K$ (he probado hasta alrededor de $K=2500$).

Independientemente de que la suma, en realidad no importa. $$\lim_{K\to\infty} \frac {T(\lfloor \sqrt(K/2)\rfloor +1)}{K}=\frac{1}{4}$$ the fully-$2$-balanced numbers approach a constant density: $\theta(1/4)$, and the density of $2$-balanced numbers appears to be roughly $3/10$

Una pregunta interesante sería ¿cuál es la menor $R$ tal que la densidad de $R$-equilibrado enteros es constante. Es claramente menor que $2$.